mod3のコラッツ擬き
コラッツ予想とは、任意の正の整数nに対して、次の関数fとして定義される操作を繰り返しおこなったとき、どんな初期値から始めても、有限回の操作のうちに必ず1に到達する、というものです。
\[ f(n)=\left\{\begin{array}{cl}
n/2&{\mbox{if }}n\equiv 0\\
3n+1&{\mbox{if }}n\equiv 1
\end{array}\right.{\pmod {2}}\]
これに倣って、次の関数fとして定義される操作を繰り返しおこなうコラッツ擬きを考えてみます。
\[ f(n)=\left\{\begin{array}{cl}
n/3&{\mbox{if }}n\equiv 0\\
5n+1&{\mbox{if }}n\equiv 1\\
5n+2&{\mbox{if }}n\equiv 2
\end{array}\right.{\pmod {3}}\]
上記のコラッツ擬きは、1000000 までで、
\(4 \to 21 \to 7 \to 36 \to 12 \to 4\)
\(8 \to 42 \to 14 \to 72 \to 24 \to 8\)
という2種類のループのいずれかに到達しましたが、100000 までで最大値を更新した初期値と、その到達先、それに要した回数、途中で達した最大値は以下のようになりました。
\begin{array}{|r|c|r|r|}
\hline
初期値 & 到達先 & 回数 & 最大値 \\ \hline
10 & 4 & 43 & 3186 \\ \hline
38 & 8 & 386 & 12317562 \\ \hline
253 & 8 & 755 & 60008787 \\ \hline
325 & 4 & 204 & 61921287 \\ \hline
443 & 8 & 509 & 2792211912 \\ \hline
550 & 4 & 2832 & 366801780869709687 \\ \hline
1973 & 4 & 5101 & 68833498238053197854493312 \\ \hline
13301 & 4 & 2815 & 99325854394514885320584021 \\ \hline
16955 & 8 & 7959 & 724763997101386821051531936 \\ \hline
20776 & 4 & 4265 & 2933570318473933999921361031139062 \\ \hline
59113 & 4 & 7510 & 1470455996222092703757506943141135411 \\ \hline
85925 & 4 & 13246 & 340816539304436064398165865804406618021466224558460882751162
\\ \hline
\end{array}
4を含むループと8を含むループに到達する初期値の個数は以下のようになりました。
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
& 1～1000 & 1～10000 & 1～100000 & 1～1000000 \\ \hline
4を含むループ & 688 & 6417 & 62273 & 615220 \\ \hline
8を含むループ & 312 & 3583 & 37727 & 384780 \\ \hline
\end{array}
上記のコラッツ擬きを初期値が負数の場合に拡張すると、\(-1 \leftrightarrow -3\)というループが現れたので、次の関数fとして定義される操作をおこなうコラッツ擬きを考えてみます。
\[ f(n)=\left\{\begin{array}{cl}
n/3&{\mbox{if }}n\equiv 0\\
5n-2&{\mbox{if }}n\equiv 1\\
5n-1&{\mbox{if }}n\equiv 2
\end{array}\right.{\pmod {3}}\]
上記のコラッツ擬きは、1000000までで全て\(1 \leftrightarrow 3\)というループに到達しました。100000 までで最大値を更新した初期値と、1に要した回数、途中で達した最大値は以下のようになりました。
\begin{array}{|r|r|r|}
\hline
初期値 & 回数 & 最大値 \\ \hline
10 & 88 & 3564 \\ \hline
25 & 116 & 10314 \\ \hline
70 & 191 & 431604 \\ \hline
82 & 201 & 124755588 \\ \hline
140 & 707 & 18169045713 \\ \hline
502 & 3077 & 3550975356647313 \\ \hline
619 & 12254 & 570087155057912340205131104638425588 \\ \hline
54847 & 12687 & 10089667480019633619334988145153010515029612088 \\ \hline
\end{array}
さらに、
\[ f(n)=\left\{\begin{array}{cl}
n/3&{\mbox{if }}n\equiv 0\\
5n+1&{\mbox{if }}n\equiv 1\\
5n-1&{\mbox{if }}n\equiv 2
\end{array}\right.{\pmod {3}}\]
というfとして定義される操作をおこなうコラッツ擬きを考えてみると、上記のコラッツ擬きは、1000000までで、
\(1 \to 6 \to 2 \to 9 \to 3 \to 1\)
\(4 \to 21 \to 7 \to 36 \to 12 \to 4\)
という2種類のループのいずれかに到達しましたが、100000 までで最大値を更新した初期値と、その到達先、それに要した回数、途中で達した最大値は以下のようになりました。
\begin{array}{|r|c|r|r|}
\hline
初期値 & 到達先 & 回数 & 最大値 \\ \hline
5 & 1 & 95 & 20934 \\ \hline
44 & 1 & 70 & 40986 \\ \hline
86 & 1 & 810 & 3419283861 \\ \hline
235 & 1 & 488 & 46196151066 \\ \hline
820 & 1 & 1167 & 3841972080939 \\ \hline
1310 & 4 & 1080 & 8170346115441 \\ \hline
1315 & 1 & 7145 & 157854812287762612809 \\ \hline
1790 & 1 & 3337 & 978623937310722214986 \\ \hline
8645 & 1 & 4953 & 209921511803443804073439891 \\ \hline
8770 & 1 & 6819 & 64901218184254749066376852519465177611 \\ \hline
68455 & 1 & 5931 & 533522890015686639949625171648394237684 \\ \hline
\end{array}
1を含むループと4を含むループに到達する初期値の個数は以下のようになりました。
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
& 1～1000 & 1～10000 & 1～100000 & 1～1000000 \\ \hline
1を含むループ & 901 & 8774 & 87410 & 874580 \\ \hline
4を含むループ & 99 & 1226 & 12590 & 125420 \\ \hline
\end{array}
複素コラッツ写像
コラッツ予想の操作をまず、以下のようなショートカットした操作に変形します。
\[ f(n)=\left\{\begin{array}{cl}
n/2&{\mbox{if }}n\equiv 0\\
(3n+1)/2&{\mbox{if }}n\equiv 1
\end{array}\right.{\pmod {2}}\]
この操作を以下のように複素数に拡張した場合のコラッツ写像fとして、
\(f(z)=\dfrac{z}{2}\cdot \cos ^{2}(\pi z/2)
+\dfrac{3z+1}{2} \cdot \sin ^{2}(\pi z/2) \)
という写像のジュリア集合をプロットしたものがWikipediaに載っています。
\[ f(n)=\left\{\begin{array}{cl}
n/3&{\mbox{if }}n\equiv 0\\
5n-2&{\mbox{if }}n\equiv 1\\
5n-1&{\mbox{if }}n\equiv 2
\end{array}\right.{\pmod {3}}\]
というコラッツ擬きについても、ショートカットした操作
\[ f(n)=\left\{\begin{array}{cl}
n/3&{\mbox{if }}n\equiv 0\\
(5n-2)/3&{\mbox{if }}n\equiv 1\\
(5n-1)/3&{\mbox{if }}n\equiv 2
\end{array}\right.{\pmod {3}}\]
について、以下のように複素数に拡張した場合の写像fとして、
\(f(z)=\dfrac{z}{3}\cdot g_{0}(z)
+\dfrac{5z-2}{3} \cdot g_{1}(z)
+\dfrac{5z-1}{3} \cdot g_{2}(z) \)
ジュリア集合をプロットしてみます。ただし、\(g_{0},g_{1},g_{2}\)は、
\(g_{0}(z)=\dfrac{1}{2}\cos (2\pi z/3)+\dfrac{1}{6}\cos (4\pi z/3) +\dfrac{1}{3}\)
\(g_{1}(z)=g_{0}(z-1),\ g_{2}(z)=g_{0}(z-2)\)
という関数形としました。
ジュリア集合は、\(|Re(z)|<10,\ |Im(z)|<2\)の範囲でプロットした結果、以下のようになりました。
\[ f(n)=\left\{\begin{array}{cl}
n/3&{\mbox{if }}n\equiv 0\\
5n+1&{\mbox{if }}n\equiv 1\\
5n-1&{\mbox{if }}n\equiv 2
\end{array}\right.{\pmod {3}}\]
というコラッツ擬きについても、ショートカットした操作
\[ f(n)=\left\{\begin{array}{cl}
n/3&{\mbox{if }}n\equiv 0\\
(5n+1)/3&{\mbox{if }}n\equiv 1\\
(5n-1)/3&{\mbox{if }}n\equiv 2
\end{array}\right.{\pmod {3}}\]
について、以下のように複素数に拡張した場合の写像fとして、
\(f(z)=\dfrac{z}{3}\cdot g_{0}(z)
+\dfrac{5z+1}{3} \cdot g_{1}(z)
+\dfrac{5z-1}{3} \cdot g_{2}(z) \)
ジュリア集合をプロットしてみます。
ジュリア集合は、\(|Re(z)|<10,\ |Im(z)|<2\)の範囲でプロットした結果、以下のようになりました。
