5進法の場合の乗法持続係数
N≧5のN進法では\((2\times 2)_{(N)}=4_{(N)}\)なので、\(2\le a_{1},a_{2},\cdots ,a_{i}\lt 4\le a_{i+1},\cdots ,a_{n}\lt \mathrm{\small N}\)とすると、\((22a_{1}a_{2}\cdots a_{n})_{(N)}\)という数と\((a_{1}a_{2}\cdots a_{i}4a_{i+1}\cdots a_{n})_{(N)}\)という数では、各位の数字を掛け合わせると同じ結果になり、\((a_{1}a_{2}\cdots a_{i}4a_{i+1}\cdots a_{n})_{(N)}\lt (22a_{1}a_{2}\cdots a_{n})_{(N)}\)なので、MP≧3となる各MPについての最小数の探索において、各位の数字の中に2が2つ以上含まれる場合は除かれます。
すると、5進法では、MP≧3となる各MPについての最小数は、\(\overset{n_{1}}{\overbrace{3\cdots 3}}\overset{n_{2}}{\overbrace{4\cdots 4}}_{(5)}\)というパターンと\(2\overset{n_{1}}{\overbrace{3\cdots 3}}\overset{n_{2}}{\overbrace{4\cdots 4}}_{(5)}\)というパターンに限られることになります。なお、n1,n2のいずれかが0となる場合も含みます。これらの数の各位の数字の積の素因数分解は、それぞれ、\(2^{2n_{2}}3^{n_{1}}\)、\(2^{2n_{2}+1}3^{n_{1}}\)となりますが、n1+n2≦4000でこれらの数の5進法表記で各位に0が現れない組み合わせを調べていくと、5進法表記では、各MPについての最小数は以下のような結果になります。n1+n2≦4000では、MP=6となる数の各位の数字の積の素因数分解は24032が唯一のものでした。
\begin{array}{|r|r|r|c|}
\hline
\mathrm{MP}&左記の\mathrm{MP}となる最小数&&各位の数字の\\ &(5進法表記)&(10進法表記) & 積の素因数分解 \\ \hline
1 & 10 & 5 &- \\ \hline
2 & 23 & 13 & 2^{1}3^{1} \\ \hline
3 & 233 & 68 & 2^{1}3^{2} \\ \hline
4 & 33334 & 2344 & 2^{2}3^{4} \\ \hline
5 & 444444444444 & 244140624 & 2^{24} \\ \hline
6 & 3344444444444444444444 & 1811981201171874 & 2^{40}3^{2} \\ \hline
\end{array}