正十一角形の作図
Last modified: 2002 May 25 Sat
正十一角形の作図で必要なu = x + x-1 (xは1の11乗根)を求めるためには、u5 + u4 - 4u3 - 3u2 +3u + 1 = 0 という5次方程式を解く必要があります。一般の5次方程式は代数的に解けない、ということを示したのはアーベルですが(ここでいう「代数的」とは、方程式の係数に四則演算と累乗根を有限回施すということです。)、これは、全ての5次方程式が「代数的」に解けない、ということを意味しているわけではありません。実際、全てのｎについてxn - 1 = 0という方程式が代数的に解けることがガウスによって示されています。したがって、x11 - 1 = 0も代数的に解くことができて、u5 + u4 - 4u3 - 3u2 +3u + 1 = 0 という5次方程式も、uがu = x + x-1とxを用いて代数的に表されるので、代数的に解くことができます。
5次方程式が代数的に解けるか否かは、ガロア群という方程式の根を互いに置き換える群の構造によって決まります。5次方程式のガロア群が5次の対称群Ｓ5(位数120)又は5次の交代群Ａ5(位数60)の場合は代数的に解くことができず、フロベニウス群Ｆ20(位数20)、２面体群Ｄ5(位数10)、巡回群Ｃ5(位数5)の場合は代数的に解くことができることがわかっています。5次方程式u5 + u4 - 4u3 - 3u2 +3u + 1 = 0 のガロア群はＣ5で、代数的に解けることになります。1の11乗根をζで表すと、この5次方程式の根は、ζ + ζ-1、ζ2 + ζ-2、ζ3 + ζ-3、ζ4 + ζ-4、ζ5 + ζ-5ですが、ζ→ζ2と置き換えると、ζ + ζ-1→ζ2 + ζ-2、ζ2 + ζ-2→ζ4 + ζ-4、ζ4 + ζ-4→ζ3 + ζ-3、ζ3 + ζ-3→ζ5 + ζ-5、ζ5 + ζ-5→ζ + ζ-1と置き換わります(ζ8 = ζ-3、ζ16 = ζ5、ζ32 = ζ-1なので)。
実際にζ + ζ-1を求めてみるために、ラグランジュの表示式、
a = (ζ+ζ-1) + ω(ζ2+ζ-2) + ω2(ζ4+ζ-4) + ω3(ζ8+ζ-8) + ω4(ζ16+ζ-16)
b = (ζ+ζ-1) + ω2(ζ2+ζ-2) + ω4(ζ4+ζ-4) + ω(ζ8+ζ-8) + ω3(ζ16+ζ-16)
c = (ζ+ζ-1) + ω3(ζ2+ζ-2) + ω(ζ4+ζ-4) + ω4(ζ8+ζ-8) + ω2(ζ16+ζ-16)
d = (ζ+ζ-1) + ω4(ζ2+ζ-2) + ω3(ζ4+ζ-4) + ω2(ζ8+ζ-8) + ω(ζ16+ζ-16)
を用います。ここで、ωは1の5乗根ですが、1の5乗根は四則演算と開平によって表すことのできる数ですから、代数的に表すことのできる数です。また、c=b*、d=a*です。これらのラグランジュの表示式と共に
(ζ+ζ-1) + (ζ2+ζ-2) + (ζ4+ζ-4) + (ζ8+ζ-8) + (ζ16+ζ-16) = -1
という関係式もあります。
a5、b5を計算してみると、
a5 = -196 -130ω +255ω2 -20ω3 +90ω4
b5 = -196 -130ω2 +255ω4 -20ω +90ω3
なので、これらの数も四則演算と開平によって表すことのできる数です。a、bはこれらの数の5乗根なので、四則演算と開平と5乗根によって表すことができます(ここで、複素数rexp(iθ)（0＜θ＜2π）の5乗根としてr^(1/5)exp(iθ/5)をとります)。ζ+ζ-1はaとbを用いて(a+b+b*+a*-1)/5と表されるので、やはり四則演算と開平と5乗根によって表すことができる数です。
正十一角形の作図を行うには、上記のaとbの作図が必要になりますが、a5とb5の絶対値は11^(5/2)で、偏角も正五角形の作図を用いて求めることができます。aとbの絶対値の作図は11^(1/2)の作図ができればよいわけで、偏角についてはa5とb5の偏角を五等分して求めることになります。