正十二面体惑星の重力ポテンシャル
半径\(a\)の球に内接する正十二面体の\(20\)の頂点が、\(b=\tfrac{4\sqrt{3}}{3}(10+2\sqrt{5})^{-1/2}a,\ \)\(h=\tfrac{\sqrt{3}}{120}(10+2\sqrt{5})^{3/2}a\)として、 \((b\cos (2k\pi /5),b\sin (2k\pi /5),h)\), \((\tfrac{1+\sqrt{5}}{2}b\cos (2k\pi /5),\tfrac{1+\sqrt{5}}{2}b\sin (2k\pi /5),(\sqrt{5}-2)h)\), \((-\tfrac{1+\sqrt{5}}{2}b\cos (2k\pi /5),-\tfrac{1+\sqrt{5}}{2}b\sin (2k\pi /5),-(\sqrt{5}-2)h)\), \((-b\cos (2k\pi /5),-b\sin (2k\pi /5),-h)\), \((k=0,1,2,3,4)\)にあり、密度\(\rho\)が一定の場合、重力ポテンシャル\(U(x,y,z)\)は以下のように表される。 \[U(x,y,z)=-G\rho\sum_{i=0}^{11}u_{1}(x_{i}, y_{i}, z_{i}, a)\] \[\begin{pmatrix} x_{0} \\ y_{0} \\ z_{0} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix},\ \begin{pmatrix} x_{11} \\ y_{11} \\ z_{11} \end{pmatrix}=-\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix},\ \begin{pmatrix} x_{i} \\ y_{i} \\ z_{i} \end{pmatrix}=(Z^{i-1}X)^{-1}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix},\ \begin{pmatrix} x_{i+5} \\ y_{i+5} \\ z_{i+5} \end{pmatrix}=-(Z^{i-1}X)^{-1}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix},\ (i=1,2,3,4,5)\] \[Z=\begin{pmatrix} \cos (2\pi /5) & \sin (2\pi /5) & 0 \\ -\sin (2\pi /5) & \cos (2\pi /5) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},\ X=\begin{pmatrix} 1/\sqrt{5} & 0 & 2/\sqrt{5} \\ 0 & -1 & 0 \\ 2/\sqrt{5} & 0 & -1/\sqrt{5} \end{pmatrix}\] \[r_{1} = \sqrt{(x - b)^{2} + y^{2} + (z - h)^{2}}\] \[r_{2} = \sqrt{(x - b\cos (2\pi /5))^{2} + (y - b\sin (2\pi /5))^{2} + (z - h)^{2}}\] \[r_{3} = \sqrt{(x - b\cos (4\pi /5))^{2} + (y - b\sin (4\pi /5))^{2} + (z - h)^{2}}\] \[r_{4} = \sqrt{(x - b\cos (4\pi /5))^{2} + (y + b\sin (4\pi /5))^{2} + (z - h)^{2}}\] \[r_{5} = \sqrt{(x - b\cos (2\pi /5))^{2} + (y + b\sin (2\pi /5))^{2} + (z - h)^{2}}\] \[r_{12}=r_{23}=r_{34}=r_{45}=r_{51}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{3}}a\] \[\tilde{L}_{12}=r_{12}L_{12}=\ln{\frac{r_{1}+r_{2}+r_{12}}{r_{1}+r_{2}-r_{12}}},\ \tilde{L}_{23}=r_{23}L_{23}=\ln{\frac{r_{2}+r_{3}+r_{23}}{r_{2}+r_{3}-r_{23}}},\ \tilde{L}_{34}=r_{34}L_{34}=\ln{\frac{r_{3}+r_{4}+r_{34}}{r_{3}+r_{4}-r_{34}}}\] \[\tilde{L}_{45}=r_{45}L_{45}=\ln{\frac{r_{4}+r_{5}+r_{45}}{r_{4}+r_{5}-r_{45}}},\ \tilde{L}_{51}=r_{51}L_{51}=\ln{\frac{r_{5}+r_{1}+r_{51}}{r_{5}+r_{1}-r_{51}}}\] \[S_{1}=\arctan \dfrac{(3-\sqrt{5})\sqrt{10+2\sqrt{5}}(h-z)r_{1}}{-[2x^{2}-4bx+(4\sqrt{5}-10)y^{2}+2b^{2}+4(\sqrt{5}-2)(h-z)^{2}]}\] \[S_{2}=\arctan \dfrac{(3-\sqrt{5})\sqrt{10+2\sqrt{5}}(h-z)r_{2}}{-[(\sqrt{5}-3)x^{2}+(1-\sqrt{5})bx+(3\sqrt{5}-5)y^{2}+2b^{2}+\sqrt{10+2\sqrt{5}}((2\sqrt{5}-4)xy-by)+4(\sqrt{5}-2)(h-z)^{2}]}\] \[S_{3}=\arctan \dfrac{(3-\sqrt{5})\sqrt{10+2\sqrt{5}}(h-z)r_{3}}{-[(4\sqrt{5}-8)x^{2}+(\sqrt{5}+1)bx+2b^{2}+\sqrt{10+2\sqrt{5}}((\sqrt{5}-3)xy+\tfrac{1}{2}(1-\sqrt{5})by)+4(\sqrt{5}-2)(h-z)^{2}]}\] \[S_{4}=\arctan \dfrac{(3-\sqrt{5})\sqrt{10+2\sqrt{5}}(h-z)r_{4}}{-[(4\sqrt{5}-8)x^{2}+(\sqrt{5}+1)bx+2b^{2}-\sqrt{10+2\sqrt{5}}((\sqrt{5}-3)xy+\tfrac{1}{2}(1-\sqrt{5})by)+4(\sqrt{5}-2)(h-z)^{2}]}\] \[S_{5}=\arctan \dfrac{(3-\sqrt{5})\sqrt{10+2\sqrt{5}}(h-z)r_{5}}{-[(\sqrt{5}-3)x^{2}+(1-\sqrt{5})bx+(3\sqrt{5}-5)y^{2}+2b^{2}-\sqrt{10+2\sqrt{5}}((2\sqrt{5}-4)xy-by)+4(\sqrt{5}-2)(h-z)^{2}]}\] \begin{align*} u_{1}(x, y, z, a) =& \dfrac{h-z}{2} [(-\dfrac{1+\sqrt{5}}{4}x+\dfrac{(1-\sqrt{5})\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{8}y+\dfrac{\sqrt{15}\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{30}a)\tilde{L}_{12}\\ &+(\dfrac{\sqrt{5}-1}{4}x-\dfrac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}y+\dfrac{\sqrt{15}\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{30}a)\tilde{L}_{23}\\ &+(x+\dfrac{\sqrt{15}\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{30}a)\tilde{L}_{34}\\ &+(\dfrac{\sqrt{5}-1}{4}x+\dfrac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}y+\dfrac{\sqrt{15}\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{30}a)\tilde{L}_{45}\\ &+(-\dfrac{1+\sqrt{5}}{4}x+\dfrac{(\sqrt{5}-1)\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{8}y+\dfrac{\sqrt{15}\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{30}a)\tilde{L}_{51}]\\ &-\dfrac{(h-z)^{2}}{2}[S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}+S_{5} -3\pi\mathrm{sgn}(h-z)] \end{align*} 重力ポテンシャル\(U(x,y,z)\)を\(C_{5}\)軸と垂直で原点を通る断面(\(xy\)平面)でプロットしたのが以下の図である。
重力ポテンシャル\(U(x,y,z)\)を正十二面体の面心を通る鏡映対称面(\(xz\)平面)でプロットしたのが以下の図である。一点鎖線は正十二面体の面心方向を示している。
正十二面体惑星の場合も、正四面体惑星や正八面体惑星よりも球に近いせいか、球対称な場合の重力ポテンシャルと比べても歪みが少なくなっている。
正十二面体惑星の場合、\(r=\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}\)として、中心付近では、 \[U(x,y,z)\simeq G\rho[(-(5+3\sqrt{5})\ln{\dfrac{2\sqrt{3}+(\sqrt{5}-1)}{2\sqrt{3}-(\sqrt{5}-1)}}+\dfrac{10+4\sqrt{5}}{15}\pi)a^{2} + \dfrac{2\pi}{3}r^{2}]\] 十分遠方では、総質量\(M(=\frac{\sqrt{3}}{9}(10+2\sqrt{5})\rho a^{3})\)の質点による重力ポテンシャルと同じく、球対称な場合の重力ポテンシャルと同様に、 \[U(x,y,z)\simeq -\dfrac{GM}{r}\] となる。
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