正二十面体惑星の重力ポテンシャル
正二十面体の\(12\)の頂点が、\((0,0,\pm a)\), \((2a\cos (2k\pi /5)/\sqrt{5},2a\sin (2k\pi /5)/\sqrt{5},a/\sqrt{5})\),\((-2a\cos (2k\pi /5)/\sqrt{5},2a\sin (2k\pi /5)/\sqrt{5},-a/\sqrt{5})\),\((k=0,1,2,3,4)\)にあり、密度\(\rho\)が一定の場合、重力ポテンシャル\(U(x,y,z)\)は以下のように表される。 \[U(x,y,z)=-G\rho\sum_{i=0}^{19}u_{1}(x_{i}, y_{i}, z_{i}, a)\] \[\begin{pmatrix} x_{i} \\ y_{i} \\ z_{i} \end{pmatrix}=Z^{-i}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix},\ \begin{pmatrix} x_{i+5} \\ y_{i+5} \\ z_{i+5} \end{pmatrix}=(Z^{i}Y)^{-1}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\] \[\begin{pmatrix} x_{i+10} \\ y_{i+10} \\ z_{i+10} \end{pmatrix}=(Z^{i}X)^{-1}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix},\ \begin{pmatrix} x_{i+15} \\ y_{i+15} \\ z_{i+15} \end{pmatrix}=(Z^{i}YX)^{-1}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix},\ (i=0,1,2,3,4)\] \[Z=\begin{pmatrix} \cos (2\pi /5) & \sin (2\pi /5) & 0 \\ -\sin (2\pi /5) & \cos (2\pi /5) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},\ Y=\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix},\ X=\begin{pmatrix} 1/\sqrt{5} & 0 & -2/\sqrt{5} \\ 0 & -1 & 0 \\ -2/\sqrt{5} & 0 & -1/\sqrt{5} \end{pmatrix}\] \[r_{1} = \sqrt{x^{2} + y^{2} + (z - a)^{2}}\] \[r_{2} = \sqrt{(x - 2a\cos (4\pi /5)/\sqrt{5})^{2} + (y - 2a\sin (4\pi /5)/\sqrt{5})^{2} + (z - a/\sqrt{5})^{2}}\] \[r_{3} = \sqrt{(x - 2a\cos (4\pi /5)/\sqrt{5})^{2} + (y + 2a\sin (4\pi /5)/\sqrt{5})^{2} + (z - a/\sqrt{5})^{2}}\] \[r_{12}=r_{23}=r_{31}=\dfrac{4}{10+2\sqrt{5}}a\] \[\tilde{L}_{12}=r_{12}L_{12}=\ln{\frac{r_{1}+r_{2}+r_{12}}{r_{1}+r_{2}-r_{12}}},\ \tilde{L}_{23}=r_{23}L_{23}=\ln{\frac{r_{2}+r_{3}+r_{23}}{r_{2}+r_{3}-r_{23}}},\ \tilde{L}_{31}=r_{31}L_{31}=\ln{\frac{r_{3}+r_{1}+r_{31}}{r_{3}+r_{1}-r_{31}}}\] \[S_{1}=\arctan{\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}((3-\sqrt{5})x-z+a)r_{1}}{-[\tfrac{1}{2}(3\sqrt{5}-7)x^{2}+4xz-4ax+\tfrac{1}{2}(3\sqrt{5}-15)y^{2}+(1-\sqrt{5})z^{2}+(2\sqrt{5}-2)az+(1-\sqrt{5})a^{2}]}}\] \[S_{2}=\arctan{\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}((3-\sqrt{5})x-z+a)r_{2}} {-[(\sqrt{5}-5)x^{2}-2ax+(\sqrt{5}-5)z^{2}+4az+(\sqrt{5}-5)a^{2}-\sqrt{10+2\sqrt{5}}(xy+(3-\sqrt{5})yz+\tfrac{1}{2}(3-\sqrt{5})ay)]}}\] \[S_{3}=\arctan{\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}((3-\sqrt{5})x-z+a)r_{3}} {-[(\sqrt{5}-5)x^{2}-2ax+(\sqrt{5}-5)z^{2}+4az+(\sqrt{5}-5)a^{2}+\sqrt{10+2\sqrt{5}}(xy+(3-\sqrt{5})yz+\tfrac{1}{2}(3-\sqrt{5})ay)]}}\] \begin{align*} u_{1}(x, y, z, a) =& \frac{a+(3-\sqrt{5})x-z}{3(5-\sqrt{5})} [(a-\dfrac{3+\sqrt{5}}{4}x-\dfrac{3\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}y-z)\tilde{L}_{12}\\ &+(a+\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}x+2z)\tilde{L}_{23} +(a-\dfrac{3+\sqrt{5}}{4}x+\dfrac{3\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}y-z)\tilde{L}_{31}]\\ &-\dfrac{5-\sqrt{5}}{60}(4x-(3+\sqrt{5})(z-a))^{2}[S_{1}+S_{2}+S_{3} -\pi\mathrm{sgn}(4x-(3+\sqrt{5})(z-a))] \end{align*} 重力ポテンシャル\(U(x,y,z)\)を\(C_{5}\)軸と垂直で原点を通る断面(\(xy\)平面)でプロットしたのが以下の図である。
重力ポテンシャル\(U(x,y,z)\)を正二十面体の面心を通る鏡映対称面(\(xz\)平面)でプロットしたのが以下の図である。一点鎖線は正二十面体の面心方向を示している。
正二十面体惑星の場合は、正四面体惑星や正八面体惑星よりも球に近いせいか、球対称な場合の重力ポテンシャルと比べても歪みが少なくなっている。
正二十面体惑星の場合、\(r=\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}\)として、中心付近では、 \[U(x,y,z)\simeq G\rho[(-(5+\sqrt{5})\ln{\dfrac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}+2}{\sqrt{10+2\sqrt{5}}-2}}+\dfrac{10+4\sqrt{5}}{15}\pi)a^{2} + \dfrac{2\pi}{3}r^{2}]\] 十分遠方では、総質量\(M(=\frac{2\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{3}\rho a^{3})\)の質点による重力ポテンシャルと同じく、球対称な場合の重力ポテンシャルと同様に、 \[U(x,y,z)\simeq -\dfrac{GM}{r}\] となる。
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