SO(5)の既約表現の次元と2次のCasimir演算子の固有値


・単純ルートベクトル

　α1＝(1,-1)，α2＝(0,1)

・正ルートベクトル

　α1，α2，α1+α2，α1+2α2

・カルタン行列



・基本ウェイトベクトル

　基本ウェイトベクトルと単純ルートベクトルは、カルタン行列を用いて


　という関係で結ばれ、


　であり、


　であるので、
　ω1＝α1+α2＝(1,0)
　ω2＝(1/2)α1+α2＝(1/2,1/2)

・ウェイトベクトル

　上記のω1，ω2を用いて、m1ω1＋m2ω2（ただし、m1，m2は整数）をプロットしたものがこちらである。

・既約表現の次元

　Weylの次元公式を用いると、m1ω1＋m2ω2を最高ウェイトベクトルとする既約表現の次元Nは、


　で表され、(α1，α1)＝2、(α2，α2)＝1、
　kはk1α1＋k2α2が正ルートとなるようなk1，k2のすべての組を走るものとすると、
　(k1，k2)は(1,0)，(0,1)，(1,1)，(1,2)をとりうるので、

(k1，k2)
(1,0)m1＋1
(0,1)m2＋1
(1,1)(1/3)(2m1＋m2＋3)
(1,2)(1/2)(m1＋m2＋2)

　より、


　となる。

　(m1，m2)について表現の次元と最高ウェイトを計算すると、以下のようになる。

m1m2N最高ウェイト
0010(0,0)
105α1+α2(1,0)
014(1/2)α1+α2(1/2,1/2)
20142α1+2α2(2,0)
1116(3/2)α1+2α2(3/2,1/2)
0210α1+2α2(1,1)
30303α1+3α2(3,0)
2140(5/2)α1+3α2(5/2,1/2)
12352α1+3α2(2,1)
0320(3/2)α1+3α2(3/2,3/2)
04352α1+4α2(2,2)

　次元公式を用いて、m1，m2が負の領域についても m1ω1＋m2ω2について上記のNを計算してプロットしたものがこちらである。

　最も自明な既約表現は、(m1，m2)＝(0,0)の場合の1次元表現である。いうまでもないが、この表現に属するウェイトベクトルは0であり、その縮重度は1である。
　次に、基本的な既約表現としては、(m1，m2)＝(1,0)の5次元表現がある。これはベクトル表現であり、この表現に属するウェイトベクトルは、(±1,0)，(0,±1)，(0,0)であり、その縮重度は次のように表される。
　もう一つの基本的な既約表現としては、(m1，m2)＝(0,1)の4次元表現がある。これはスピノル表現であり、この表現に属するウェイトベクトルは、(±1/2,±1/2)であり、その縮重度は次のように表される。
　これら二つの基本的な既約表現の直積を既約表現に分解していくことで、その他の既約表現についても求められるが、それにはSpeiserの方法(例えばこちらのp.926-927を参照されたい。)を用いる。(m1，m2)の既約表現と(m'1，m'2)の既約表現の直積を分解した各既約表現の次元は、先のm1ω1＋m2ω2について上記のNを計算してプロットした図において、m1ω1＋m2ω2を始点として、(m'1，m'2)の既約表現の各ウェイトベクトルの終点のNの値に対応する。

　まず、二つの4次元表現の直積、４×４の既約表現への分解を考える。4次元表現の最高ウェイトベクトルは(1/2,1/2)であるが、(1/2,1/2)を始点として、4次元表現に属するウェイトベクトル(±1/2,±1/2)を合成する。
　合成したウェイトベクトルの終点は、(1,1)，(1,0)，(0,0)，(0,1)であるが、対応するNの値は10，5，1，0である。0は無視すると、 

４×４＝１０＋５＋１
と分解される。

　ここで得られた10次元表現に属するウェイトベクトルは、(±1,0)，(±1,±1)，(0,±1)，(0,0)であり、その縮重度は次のように表される。
　この表現の次元数は10で、SO(5)の生成子の数10と同じであり、ウェイトベクトルはルートベクトルと同一になる。この表現は随伴表現という表現である。

　次に、5次元表現と4次元表現の直積、５×４の既約表現への分解を考える。5次元表現の最高ウェイトベクトルは(1,0)であるが、(1,0)を始点として、4次元表現に属するウェイトベクトル(±1/2,±1/2)を合成する。
　合成したウェイトベクトルの終点は、(3/2,1/2)，(3/2,-1/2)，(1/2,1/2)，(1/2,-1/2)であるが、対応するNの値は16，0，4，0である。0は無視すると、 

５×４＝１６＋４
と分解される。

　ここで得られた16次元表現に属するウェイトベクトルは、(±3/2,±1/2)，(±1/2,±3/2)，(±1/2,±1/2)であり、その縮重度は次のように表される。
　次に、二つの5次元表現の直積、５×５の既約表現への分解を考える。5次元表現の最高ウェイトベクトルは(1,0)であるが、(1,0)を始点として、5次元表現に属するウェイトベクトル(±1,0)，(0,±1)，(0,0)を合成する。
　合成したウェイトベクトルの終点は、(2,0)，(1,1)，(1,0)，(1,-1)，(0,0)であるが、対応するNの値は14，10，5，-5，1である。-5は5と相殺されるので、 

５×５＝１４＋１０＋１
と分解される。

　ここで得られた14次元表現に属するウェイトベクトルは、(±2,0)，(±1,±1)，(0,±2)，(±1,0)，(0,±1)，(0,0)であり、その縮重度は次のように表される。
　ここで得られた14次元表現は、零対角和の2階の対称テンソル表現であり、対角和部分が1次元表現に相当し、10次元表現が2階の反対称テンソル表現である。これは、SO(3)では二つの3次元のベクトル表現の直積が、5次元表現である零対角和の2階の対称テンソル表現、対角和部分の1次元表現と、3次元表現である2階の反対称テンソル表現に分解されることに相当する（３×３＝５＋３＋１）。

　このようにして、さらに高次の次元の既約表現のウェイトベクトルも得ることができる。 

１０×５＝３５＋１０＋５
１０×４＝２０＋１６＋４
１６×５＝４０＋２０＋１６＋４
１６×４＝３５＋１４＋１０＋５
１４×５＝３０＋３５＋５
１４×４＝４０＋１６
　5次元表現や4次元表現との直積だけでなく、さらに高次の次元の既約表現との直積でも同じ手法を使うことができる。

　例えば、二つの10次元表現の直積、１０×１０の既約表現への分解を考えると、10次元表現の最高ウェイトベクトルは(1,1)であるが、(1,1)を始点として、10次元表現に属するウェイトベクトル(±1,0)，(±1,±1)，(0,±1)，(0,0)（2重縮重）を合成する。
　合成したウェイトベクトルの終点は、(2,2)，(2,1)，(2,0)，(1,2)，(1,1)（2重縮重），(1,0)，(0,2)，(0,1)，(0,0)であるが、対応するNの値は35，35，14，0，10，10，5，-10，0，1である。0は無視して、-10は10と相殺されるので、残るのは、35，35，14，10，5，1であるが、二つの35次元表現は最高ウェイトベクトルが(2,2)，(2,1)と異なるので、次元数が同じであるが異なった表現である。そこで、(2,2)の方には添字ｓを付けて区別することとすると、 

１０×１０＝３５ｓ＋３５＋１４＋１０＋５＋１
　と分解される。

　各次元の既約表現のウェイトベクトルをプロットすると以下のようになる。

m1m2N縮重度
001
105
014
2014
1116
0210
3030
2140
1235
0320
0435


・2次のCasimir演算子の固有値

　単純ルートベクトルとカルタン行列の逆行列を用いると、2次のCasimir演算子の固有値は、


　で表され、(j,k)は(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)をとりうるので、

(j,k)
(1,1)2m1(m1＋2)
(2,1)m1(m2＋2)
(1,2)m2(m1＋2)
(2,2)m2(m2＋2)

　より、


　となる。



　(m1，m2)について表現の次元と2次のCasimir元の固有値を計算すると、以下のようになる。

m1m2NC2
0010
1054
0145/2
201410
111615/2
02106
303018
214029/2
123512
032021/2
405528
318047/2
228120
136435/2
043516