SU(5)の既約表現の次元


・単純ルートベクトル

　α1＝(1,-1,0,0,0)，α2＝(0,1-1,0,0)，α3＝(0,0,1,-1,0)，α4＝(0,0,0,1,-1)

・正ルートベクトル

α1，α2，α3，α4，
α1+α2，α2+α3，α3+α4，
α1+α2+α3，α2+α3+α4，
α1+α2+α3+α4

・カルタン行列



・基本ウェイトベクトル

　基本ウェイトベクトルと単純ルートベクトルは、カルタン行列を用いて


　という関係で結ばれ、


　であり、


　であるので、
　ω1＝(4/5)α1+(3/5)α2+(2/5)α3+(1/5)α3＝(4/5,-1/5,-1/5,-1/5,-1/5)
　ω2＝(3/5)α1+(6/5)α2+(4/5)α3+(2/5)α4＝(3/5,3/5,-2/5,-2/5,-2/5)
　ω3＝(2/5)α1+(4/5)α2+(6/5)α3+(3/5)α4＝(2/5,2/5,2/5,-3/5,-3/5)
　ω4＝(1/5)α1+(2/5)α2+(3/5)α3+(4/5)α4＝(1/5,1/5,1/5,1/5,-4/5)

・ウェイトベクトル

　上記のω1，ω2，ω3，ω4を用いて、m1ω1＋m2ω2＋m3ω3＋m4ω4（ただし、m1，m2，m3，m4は整数）で表される。

・既約表現の次元

　Weylの次元公式を用いると、m1ω1＋m2ω2＋m3ω3＋m4ω4を最高ウェイトベクトルとする既約表現の次元Nは、


　で表され、(α1，α1)＝(α2，α2)＝(α3，α3)＝(α4，α4)＝2、
　kはk1α1＋k2α2＋k3α3＋k4α4が正ルートとなるようなk1，k2，k3，k4のすべての組を走るものとすると、
　(k1，k2，k3，k4)は(1,0,0,0)，(0,1,0,0)，(0,0,1,0)，(0,0,0,1)，(1,1,0,0)，(0,1,1,0)，(0,0,1,1)，(1,1,1,0)，(0,1,1,1)，(1,1,1,1)をとりうるので、

(k1，k2，k3，k4)
(1,0,0,0)m1＋1
(0,1,0,0)m2＋1
(0,0,1,0)m3＋1
(0,0,0,1)m4＋1
(1,1,0,0)(1/2)(m1＋m2＋2)
(0,1,1,0)(1/2)(m2＋m3＋2)
(0,0,1,1)(1/2)(m3＋m4＋2)
(1,1,1,0)(1/3)(m1＋m2＋m3＋3)
(0,1,1,1)(1/3)(m2＋m3＋m4＋3)
(1,1,1,1)(1/4)(m1＋m2＋m3＋m4＋4)

　より、


　となる。

　(m1，m2，m3)について表現の次元と最高ウェイトを計算すると、以下のようになる。

m1m2m3m4N最高ウェイト
000010(0,0,0,0)
10005(4/5)α1+(3/5)α2+(2/5)α3+(1/5)α4(4/5,-1/5,-1/5,-1/5,-1/5)
010010(3/5)α1+(6/5)α2+(4/5)α3+(2/5)α4(3/5,3/5,-2/5,-2/5,-2/5)
001010(2/5)α1+(4/5)α2+(6/5)α3+(3/5)α4(2/5,2/5,2/5,-3/5,-3/5)
00015(1/5)α1+(2/5)α2+(3/5)α3+(4/5)α4(1/5,1/5,1/5,1/5,-4/5)
200015(8/5)α1+(6/5)α2+(4/5)α3+(2/5)α4(8/5,-2/5,-2/5,-2/5,-2/5)
100124α1+α2+α3+α4(1,0,0,0,-1)
011075α1+2α2+2α3+α4(1,1,0,-1,-1)


　最も自明な既約表現は、(m1，m2，m3，m4)＝(0,0,0,0)の場合の1次元表現１である。いうまでもないが、この表現に属するウェイトベクトルは0であり、その縮重度は1である。

　次に、基本的な既約表現としては、(m1，m2，m3，m4)＝(1,0,0,0)の5次元表現５がある。これはベクトル表現であり、この表現に属するウェイトベクトルは、

(4/5)α1+(3/5)α2+(2/5)α3+(1/5)α4＝(4/5,-1/5,-1/5,-1/5,-1/5)
-(1/5)α1+(3/5)α2+(2/5)α3+(1/5)α4＝(-1/5,4/5,-1/5,-1/5,-1/5)
-(1/5)α1-(2/5)α2+(2/5)α3+(1/5)α4＝(-1/5,-1/5,4/5,-1/5,-1/5)
-(1/5)α1-(2/5)α2-(3/5)α3+(1/5)α4＝(-1/5,-1/5,-1/5,4/5,-1/5)
-(1/5)α1-(2/5)α2-(3/5)α3-(4/5)α4＝(-1/5,-1/5,-1/5,-1/5,4/5)

であり、その縮重度はすべて1である。

　もう一つの基本的な既約表現としては、(m1，m2，m3，m4)＝(0,1,0,0)の10次元表現１０がある。この表現は2階の反対称テンソル表現である。この表現に属するウェイトベクトルは、

(3/5)α1+(6/5)α2+(4/5)α3+(2/5)α4＝(3/5,3/5,-2/5,-2/5,-2/5)
(3/5)α1+(1/5)α2+(4/5)α3+(2/5)α4＝(3/5,-2/5,3/5,-2/5,-2/5)
(3/5)α1+(1/5)α2-(1/5)α3+(2/5)α4＝(3/5,-2/5,-2/5,3/5,-2/5)
(3/5)α1+(1/5)α2-(1/5)α3-(3/5)α4＝(3/5,-2/5,-2/5,-2/5,3/5)
-(2/5)α1+(1/5)α2+(4/5)α3+(2/5)α4＝(-2/5,3/5,3/5,-2/5,-2/5)
-(2/5)α1+(1/5)α2-(1/5)α3+(2/5)α4＝(-2/5,3/5,-2/5,3/5,-2/5)
-(2/5)α1+(1/5)α2-(1/5)α3-(3/5)α4＝(-2/5,3/5,-2/5,-2/5,3/5)
-(2/5)α1-(4/5)α2-(1/5)α3+(2/5)α4＝(-2/5,-2/5,3/5,3/5,-2/5)
-(2/5)α1-(4/5)α2-(1/5)α3-(3/5)α4＝(-2/5,-2/5,3/5,-2/5,3/5)
-(2/5)α1-(4/5)α2-(6/5)α3-(3/5)α4＝(-2/5,-2/5,-2/5,3/5,3/5)

であり、その縮重度はすべて1である。

　(m1，m2，m3，m4)＝(1,0,0,0)の5次元表現５に対して、(m1，m2，m3，m4)＝(0,0,0,1)の5次元表現５*は共役表現であり、この表現に属するウェイトベクトルは、

(1/5)α1+(2/5)α2+(3/5)α3+(4/5)α4＝(1/5,1/5,1/5,1/5,-4/5)
(1/5)α1+(2/5)α2+(3/5)α3-(1/5)α4＝(1/5,1/5,1/5,-4/5,1/5)
(1/5)α1+(2/5)α2-(2/5)α3-(1/5)α4＝(1/5,1/5,-4/5,1/5,1/5)
(1/5)α1-(3/5)α2-(2/5)α3-(1/5)α4＝(1/5,-4/5,1/5,1/5,1/5)
-(4/5)α1-(3/5)α2-(2/5)α3-(1/5)α4＝(-4/5,1/5,1/5,1/5,1/5)

であり、その縮重度はすべて1である。５*表現に属するウェイトベクトルは、５表現のウェイト・ベクトルを空間反転させたものである。

　(m1，m2，m3，m4)＝(0,1,0,0)の10次元表現１０に対して、(m1，m2，m3，m4)＝(0,0,1,0)の10次元表現１０*は共役表現であり、この表現に属するウェイトベクトルは、１０表現のウェイト・ベクトルを空間反転させたもので、その縮重度はすべて1である。

　これら四つの基本的な既約表現の直積を既約表現に分解していくことで、その他の既約表現についても求められるが、それにはSO(5)の場合にも使用したSpeiserの方法を用いる。(m1，m2，m3，m4)の既約表現と(m'1，m'2，m'3，m'4)の既約表現の直積を分解した各既約表現の次元は、m1ω1＋m2ω2＋m3ω3＋m4ω4を始点として、(m'1，m'2，m'3，m'4)の既約表現の各ウェイトベクトルの終点のNの値に対応する。

　まず、二つの5次元表現５の直積、５×５の既約表現への分解を考える。5次元表現５の最高ウェイトベクトルを始点として、5次元表現５に属するウェイトベクトルを合成する。合成したウェイトベクトルの終点は、

(8/5)α1+(6/5)α2+(4/5)α3+(2/5)α4＝2ω1，
(3/5)α1+(6/5)α2+(4/5)α3+(2/5)α4＝ω2，
(3/5)α1+(1/5)α2+(4/5)α3+(2/5)α4＝ω1-ω2+ω3，
(3/5)α1+(1/5)α2-(1/5)α3+(2/5)α4＝ω1-ω3+ω4
(3/5)α1+(1/5)α2-(1/5)α3-(3/5)α4＝ω1-ω4

であるが、対応するNの値は15，10，0，0，0である。0は無視すると、 

５×５＝１５＋１０
と分解される。

　ここで得られた15次元表現１５に属するウェイトベクトルは、

(8/5)α1+(6/5)α2+(4/5)α3+(2/5)α4,
(3/5)α1+(6/5)α2+(4/5)α3+(2/5)α4,
(3/5)α1+(1/5)α2+(4/5)α3+(2/5)α4,
(3/5)α1+(1/5)α2-(1/5)α3+(2/5)α4,
(3/5)α1+(1/5)α2-(1/5)α3-(3/5)α4,
-(2/5)α1+(6/5)α2+(4/5)α3+(2/5)α4,
-(2/5)α1+(1/5)α2+(4/5)α3+(2/5)α4,
-(2/5)α1+(1/5)α2-(1/5)α3+(2/5)α4,
-(2/5)α1+(1/5)α2-(1/5)α3-(3/5)α4,
-(2/5)α1-(4/5)α2+(4/5)α3+(2/5)α4,
-(2/5)α1-(4/5)α2-(1/5)α3+(2/5)α4,
-(2/5)α1-(4/5)α2-(1/5)α3-(3/5)α4,
-(2/5)α1-(4/5)α2-(6/5)α3+(2/5)α4,
-(2/5)α1-(4/5)α2-(6/5)α3-(3/5)α4,
-(2/5)α1-(4/5)α2-(6/5)α3-(8/5)α4

であり、その縮重度はすべて1である。この表現は2階の対称テンソル表現である。

　次に、5次元表現５と5次元表現５*との直積、５×５*の既約表現への分解を考える。5次元表現５*の最高ウェイトベクトルを始点として、5次元表現５に属するウェイトベクトルを合成する。合成したウェイトベクトルの終点は、

α1+α2+α3+α4＝ω1+ω4，
α1+α2＝ω1+ω2-ω3，
α1＝-ω2+2ω3，
0

であるが、対応するNの値は24，0，0，0，1である。0は無視すると、 

５×５*＝２４＋１
と分解される。

　ここで得られた24次元表現２４に属するウェイトベクトルは、

±(α1+α2+α3+α4)＝±(ω1+ω4)，
±(α1+α2+α3)，±(α2+α3+α4)，
±(α1+α2)，±(α2+α3)，±(α3+α4)，
±α1，±α2，±α3，±α4，0

であり、その縮重度は零ベクトルが4であり他は1である。この表現の次元数24はSU(5)の生成子の数24と同じであり、ウェイトベクトルはルートベクトルと同一になる。この表現は随伴表現という表現である。

　次に、10次元表現１０と10次元表現１０*との直積、１０×１０*の既約表現への分解を考える。10次元表現１０*の最高ウェイトベクトルを始点として、10次元表現１０に属するウェイトベクトルを合成する。合成したウェイトベクトルの終点は、

α1+2α2+2α3+α4＝ω2+ω3，
α1+α2+2α3+α4＝ω1-ω2+2ω3，
α1+α2+α3+α4＝ω1+ω4，
α1+α2+α3＝ω1+ω3-ω4，
α2+2α3+α4＝-ω1+2ω3，
α2+α3+α4＝-ω1+ω2+ω4，
α2+α3＝-ω1+ω2+ω3-ω4，
α3+α4＝-ω2+ω3+ω4，
α3＝-ω2+2ω3-ω4，
0

であるが、対応するNの値は75, 0, 24，0，0，0，0，0，0，1である。0は無視すると、 

１０×１０*＝７５＋２４＋１
と分解される。

　ここで得られた75次元表現７５に属するウェイトベクトルは、

±(α1+2α2+2α3+α4)＝±(ω2+ω3)，
±(α1+2α2+α3+α4)，
±(α1+α2+2α3+α4)，
±(α1+2α2+α3)， ±(α2+2α3+α4)，
±(α1+α2+α4)， ±(α1+α3+α4)，
±(α1+α3)， ±(α1+α4)， ±(α2+α4)，
±(α1+α2-α4)， ±(-α1+α3+α4)，
±(α1-α4)， ±(α1-α3)， ±(α2-α4)，
±(α1+α2+α3+α4)，
±(α1+α2+α3)，±(α2+α3+α4)，
±(α1+α2)，±(α2+α3)，±(α3+α4)，
±α1，±α2，±α3，±α4，0

であり、その縮重度は零ベクトルが5であり、零ベクトル以外で24次元表現２４に属するウェイトベクトルと同じウェイトベクトルが2であり、他は1である。すなわち、10次元表現１０のウェイト・ベクトルと10次元表現１０*のウェイト・ベクトルを合成して零ベクトルになる組み合わせは10通り(10=5+4+1)あり、24次元表現２４に属するウェイトベクトルとなる組み合わせは3通り(3=2+1)あることになる。