sd14混成軌道(五次元)


　5次元空間では、ｄ軌道は14種類ありますが、ｓ軌道との混成軌道はsd14混成軌道で、その軌道の形は15対30本の腕を伸ばしています。SU(6)(六次元特殊ユニタリー群)のルート・ベクトルがなす図形は六次元空間内の表示では(1,-1,0,0,0,0)の置換で表される30個の頂点からなる五次元図形で、sd14混成軌道は、このSU(6)のルート・ベクトルがなす図形の頂点方向に向いた軌道を有していると予想されます。SU(6)はクォークの3種類のフレーバu,d,s×2種類のスピン状態の6種類の状態間での対称性を用いてバリオンとメソンを分類する際に応用されたことがあります(詳しくはこちらを参照。)。

　このSU(6)のルート・ベクトルがなす図形は、"Stericated 5-simplex"という図形で、正5-単体(regular 5-simplex)に"sterication"という操作を行ってできる図形です。正5-単体とは、6つの頂点をもち、6つの「面」(正しくは刻面(facet)といいます。詳しくはこちらを参照。)が正5胞体となる五次元図形で、正4面体や正5胞体の五次元版にあたります。ちなみに、4-simplex(4-単体)・3-simplex(3-単体)・2-simplex(2-単体)・1-simplex(1-単体)・0-simplex(0-単体)とは、それぞれ、5胞体・4面体・三角形・線分・点のことです(こちらを参照。)。

　SU(6)の単純ルートベクトルは、α1＝(1,-1,0,0,0,0)，α2＝(0,1-1,0,0,0)，α3＝(0,0,1,-1,0,0)，α4＝(0,0,0,1,-1,0)，α5＝(0,0,0,0,1,-1)で、これらを用いて、ルート・ベクトルは、

±α1，±α2，±α3，±α4，±α5，
±(α1+α2)，±(α2+α3)，±(α3+α4)，±(α4+α54)，
±(α1+α2+α3)，±(α2+α3+α4)，±(α3+α4+α5)，
±(α1+α2+α3+α4)，±(α2+α3+α4+α5)，
±(α1+α2+α3+α4+α5)

　と、表されますが、これはSU(6)の随伴表現である３５表現のウェイト・ベクトル(5重縮退した零ベクトルを除く)でもあります。これに対して、SU(6)の基本表現である６表現のウェイト・ベクトルは、

(5/6)α1+(2/3)α2+(1/2)α3+(1/3)α4+(1/6)α5＝(5/6,-1/6,-1/6,-1/6,-1/6,-1/6)
-(1/6)α1+(2/3)α2+(1/2)α3+(1/3)α4+(1/6)α5＝(-1/6,5/6,-1/6,-1/6,-1/6,-1/6)
-(1/6)α1-(1/3)α2+(1/2)α3+(1/3)α4+(1/6)α5＝(-1/6,-1/6,5/6,-1/6,-1/6,-1/6)
-(1/6)α1-(1/3)α2-(1/2)α3+(1/3)α4+(1/6)α5＝(-1/6,-1/6,-1/6,5/6,-1/6,-1/6)
-(1/6)α1-(1/3)α2-(1/2)α3-(2/3)α4+(1/6)α5＝(-1/6,-1/6,-1/6,-1/6,5/6,-1/6)
-(1/6)α1-(1/3)α2-(1/2)α3-(2/3)α4-(5/6)α5＝(-1/6,-1/6,-1/6,-1/6,-1/6,5/6)

　と、表され、正5-単体の頂点方向を向いています。６表現の共役表現である６*表現のウェイト・ベクトルは、６表現のウェイト・ベクトルを空間反転させたもので、６*表現のウェイト・ベクトルとは逆方向の正5-単体の頂点方向を向いています。６表現と６*表現の直積表現は、３５表現と１表現に分解されますが、６表現のウェイト・ベクトルと６*表現のウェイト・ベクトルを合成すると、３５表現のウェイト・ベクトルと零ベクトルである１表現のウェイト・ベクトルとなります。このことから、三次元空間では2つの正4面体を互いに逆方向に重ねたケプラーの八角星の隣接する頂点の中点を結ぶと立方8面体となり、四次元空間では2つの正5胞体を互いに逆方向に重ねた十角星の隣接する頂点の中点を結ぶとRuncinated 5-cellとなったように、五次元空間では、2つの正5-単体を互いに逆方向に重ねた複合正5-ポリトープ(polytope) (以下、「十二角星」(Stella dodecangula)といいます。)の隣接する頂点の中点を結ぶとStericated 5-simplexとなります。

　上記の座標表示は六次元空間内での座標表示となっていますが、十二角星やStericated 5-simplexは五次元の図形なので、以下では五次元での座標表示に変換することにします。

　６表現のウェイト・ベクトルを長さが1になるように


　と規格化して、これらが正5-単体の頂点

に移り、これらと直交する

が(0,0,0,0,0,1)に移るように座標変換すると、SU(6)のルート・ベクトルは、

に移ります。この座標表示から、Stericated 5-simplexは四次元の断面として、Runcinated 5-cellと、ディアスポラの用語でいえば五向（クインタル）方向でゴーシュとドロワに互いに逆方向を向いた正5胞体を有していることがわかります。

　正5-単体の6つの頂点を入れ換える操作からなる群は、6次の対称群と同型で、位数は6!＝720です。n次の対称群の共役類を指定するには、その元を1項、2項、…、n項巡回置換の積に分解したとき、これらが含まれる個数k1、k2、…、knにより(k1,k2,…,kn)で指定され、共役類の数はnの分割数となります。6次の対称群の場合は、6の分割の数は11で、共役類は、

(i)(6,0,0,0,0,0)
(ii)(4,1,0,0,0,0)
(iii)(2,2,0,0,0,0)
(iv)(0,3,0,0,0,0)
(v)(3,0,1,0,0,0)
(vi)(1,1,1,0,0,0)
(vii)(0,0,2,0,0,0)
(viii)(2,0,0,1,0,0)
(ix)(0,1,0,1,0,0)
(x)(1,0,0,0,1,0)
(xi)(0,0,0,0,0,1)

　の11個となります。

　正5-単体は空間反転対称性を有していないので、この群には空間反転の操作iは含まれていませんが、十二角星とStericated 5-simplexは空間反転対称性を有しているので、これらの図形に関する対称操作から成る群は、5次の対称群に空間反転の操作Iを加えたものとなります。すなわち、十二角星の頂点に次のように

と名前をつけると、十二角星に関する対称操作からなる群(以下、「十二角群」といいます。)は、頂点1,2,3,4,5,6の置換とこれと対称な頂点1,2,3,4,5,6の置換を含む操作と、これらの操作と空間反転の操作I＝(1 1)(2 2)(3 3)(4 4)(5 5)(6 6)を合成した操作とから成ります。Stericated 5-simplexに関する対称操作からなる群も十二角星群と同型です。
　十二角星群の位数は6次の対称群の2倍の1440で、共役類の数も2倍の22個となります。十二角星群の指標表と共役類は以下のようになります(この計算にはMagmaを用いました)。

ClassC1C2C3C4C5C6C7C8C9C10C11C12C13C14C15C16C17C18C19C20C21C22
Size111515151545454040909090901444040120120120120144
X11111111111111111111111
X21-1-11-111-1111-1-111-1-1-11-11-1
X311-1-1-1-1111111-1-1111-1-1-1-11
X41-11-11-11-1111-11-11-1-11-11-1-1
X55-5-331-11-12-1-11-110-21001-10
X65533-1-1112-1-1-11102-100-1-10
X75-53-3-111-12-1-111-10-2100-110
X855-3-311112-1-1-1-1-102-100110
X95-51-1-331-1-12-11-1101-21-1000
X1055-1-13311-12-1-1110-12-1-1000
X115-5-113-31-1-12-111-101-2-11000
X125511-3-311-12-1-1-1-10-1211000
X139-9-33-331-1001-11-1-10000001
X14993333110011-1-1-1000000-1
X1599-3-3-3-311001111-1000000-1
X169-93-33-31-1001-1-11-10000001
X171010-2-222-2-211000001111-1-10
X1810-10-222-2-221100000-1-11-1-110
X19101022-2-2-2-2110000011-1-1110
X2010-102-2-22-221100000-1-1-111-10
X2116-16000000-2-200001220000-1
X221616000000-2-200001-2-200001


共役類代表元
C1E            
C2 I(1 1)(2 2)(3 3)(4 4)(5 5)(6 6)
C3 (0,3,0,0,0,0)(1 2)(3 4)(5 6)(1 2)(3 4)(5 6)
C4 I(0,3,0,0,0,0)(1 2)(1 2)(3 4)(4 3)(5 6)(6 5)
C5 (4,1,0,0,0,0)(1 2)(1 2)
C6 I(4,1,0,0,0,0)(1 2)(1 2)(3 3)(4 4)(5 5)(6 6)
C7 (2,2,0,0,0,0)(3 4)(5 6)(3 4)(5 6)
C8 I(2,2,0,0,0,0)(1 1)(2 2)(3 4)(4 3)(5 6)(6 5)
C9 (0,0,2,0,0,0)(1 2 3)(4 5 6)(1 2 3)(4 5 6)
C10 (3,0,1,0,0,0)(4 5 6)(4 5 6)
C11 (0,1,0,1,0,0)(1 2)(3 4 5 6)(1 2)(3 4 5 6)
C12 I(0,1,0,1,0,0)(1 2)(1 2)(3 4 5 6)(3 4 5 6)
C13 (2,0,0,1,0,0)(3 4 5 6)(3 4 5 6)
C14 I(2,0,0,1,0,0)(1 1)(2 2)(3 4 5 6)(3 4 5 6)
C15 (1,0,0,0,1,0)(2 3 4 5 6)(2 3 4 5 6)
C16 I(0,0,2,0,0,0)(1 2 3 1 2 3)(4 5 6 4 5 6)
C17 I(3,0,1,0,0,0)(1 1)(2 2)(3 3)(4 5 6 4 5 6)
C18 (0,0,0,0,0,1)(1 2 3 4 5 6)(1 2 3 4 5 6)
C19 I(0,0,0,0,0,1)(1 2 3 4 5 6)(1 2 3 4 5 6)
C20 (1,1,1,0,0,0)(1 2)(4 5 6)(1 2)(4 5 6)
C21 I(1,1,1,0,0,0)(1 2)(1 2)(3 3)(4 5 6 4 5 6)
C22 I(1,0,0,0,1,0)(1 1)(2 3 4 5 6 2 3 4 5 6)


　この指標表からまずわかることは、X1〜X4が1次元表現、X5〜X12が5次元表現、X13〜X16が9次元表現、X17〜X20が10次元表現、X21とX22が16次元表現となることと、X1,X3,X6,X8,X10,X12,X14,X15,X17,X19,X22が 空間反転について不変となり、X2,X4,X5,X7,X9,X11,X13,X16,X18,X20,X21が空間反転で符号を変えることです。この中にはｄ軌道が属する14次元表現Δは既約表現としては含まれていません。

　各ｄ軌道が十二角星群の対称操作でどのように変換するか求める前に、座標(x,y,z,u,v)がどのように変換するか、横ベクトル(x,y,z,u,v)に対する変換を表す変換行列を求めてみます。

　共役類C3の代表元は、(1 2)(3 4)(5 6)(1 2)(3 4)(5 6)で、これは6次の対称群の共役類(iv)の代表元(1 2)(3 4)(5 6)に相当するものです。横ベクトル(x,y,z,u,v)に対する変換行列は、

で表現されます。

　共役類C5の代表元は、(1 2)(1 2)で、これは6次の対称群の共役類(ii)の代表元(1 2)に相当するものです。横ベクトル(x,y,z,u,v)に対する変換行列は、

で表現されます。

　共役類C7の代表元は、(3 4)(5 6)(3 4)(5 6)で、これは6次の対称群の共役類(iii)の代表元(3 4)(5 6)に相当するものです。横ベクトル(x,y,z,u,v)に対する変換行列は、

で表現されます。

　共役類C9の代表元は、(1 2 3)(4 5 6)(1 2 3)(4 5 6)で、これは6次の対称群の共役類(vii)の代表元(1 2 3)(4 5 6)に相当するものです。横ベクトル(x,y,z,u,v)に対する変換行列は、

で表現されます。

　共役類C10の代表元は、(4 5 6)(4 5 6)で、これは6次の対称群の共役類(v)の代表元(4 5 6)に相当するものです。横ベクトル(x,y,z,u,v)に対する変換行列は、

で表現されます。

　共役類C11の代表元は、(1 2)(3 4 5 6)(1 2)(3 4 5 6)で、これは6次の対称群の共役類(ix)の代表元(1 2)(3 4 5 6)に相当するものです。横ベクトル(x,y,z,u,v)に対する変換行列は、

で表現されます。

　共役類C13の代表元は、(3 4 5 6)(3 4 5 6)で、これは6次の対称群の共役類(viii)の代表元(3 4 5 6)に相当するものです。横ベクトル(x,y,z,u,v)に対する変換行列は、

で表現されます。

　共役類C15の代表元は、(2 3 4 5 6)(2 3 4 5 6)で、これは6次の対称群の共役類(x)の代表元(2 3 4 5 6)に相当するものです。横ベクトル(x,y,z,u,v)に対する変換行列は、

で表現されます。

　共役類C18の代表元は、(1 2 3 4 5 6)(1 2 3 4 5 6)で、これは6次の対称群の共役類(xi)の代表元(1 2 3 4 5 6)に相当するものです。横ベクトル(x,y,z,u,v)に対する変換行列は、

で表現されます。

　共役類C20の代表元は、(1 2)(4 5 6)(1 2)(4 5 6)で、これは6次の対称群の共役類(vi)の代表元(1 2)(4 5 6)に相当するものです。横ベクトル(x,y,z,u,v)に対する変換行列は、

で表現されます。

　共役類C2の元は空間反転のみで、共役類C4,C6,C8,C16,C17,C12,C14,C22,C19,C21の元は共役類C3,C5,C7,C9,C10,C11,C13,C15,C18,C20の元と空間反転を合成したものとなります。

　変換行列の対角和に注目すると、

C1C2C3C4C5C6C7C8C9C10C11C12C13C14C15C16C17C18C19C20C21C22
5-5-113-31-1-12-111-101-2-11000


　となるので、座標(x,y,z,u,v)は5次元表現X11に属することがわかります。

　続いて、十二角星群の対称操作でStericated 5-simplexの15組の対蹠点


を結ぶ15本の超立体対角線が不変となる個数に注目すると、十二角星群の対称操作で15個のsd14混成軌道の波動関数のうち不変に保たれる個数は、

ClassC1C2C3C4C5C6C7C8C9C10C11C12C13C14C15C16C17C18C19C20C21C22
Γ151533773303111100300110


　となります。

　十二角星群の対称操作でのｄ軌道の変換性を調べる前に、ｄ軌道の規格化をしておきます。

　五次元空間での超立体角の積分は、

　なので、五次元空間での2次の超球面調和関数について次の積分で規格化定数を求めます。


　各ｄ軌道の波動関数を、共通の動径関数と角度方向に規格化した超球面調和関数を用いて表現すると、次のようになります。


　そこで、


　が、十二角星群の対称操作でどのように変換するか、上の14個の2次式を縦ベクトルの成分として、変換行列を求めてみます。

　共役類C3の代表元(1 2)(3 4)(5 6)(1 2)(3 4)(5 6)については、変換行列は、

で表現されます。

　共役類C5の代表元(1 2)(1 2)については、変換行列は、

で表現されます。

　共役類C7の代表元(3 4)(5 6)(3 4)(5 6)については、変換行列は、

で表現されます。

　共役類C9の代表元(1 2 3)(4 5 6)(1 2 3)(4 5 6)については、変換行列は、

で表現されます。

　共役類C10の代表元(4 5 6)(4 5 6)については、変換行列は、

で表現されます。

　共役類C11の代表元(1 2)(3 4 5 6)(1 2)(3 4 5 6)については、変換行列は、

で表現されます。

　共役類C13の代表元(3 4 5 6)(3 4 5 6)については、変換行列は、

で表現されます。

　共役類C15の代表元(2 3 4 5 6)(2 3 4 5 6)については、変換行列は、

で表現されます。

　共役類C18の代表元(1 2 3 4 5 6)(1 2 3 4 5 6)については、変換行列は、

で表現されます。

　共役類C20の代表元(1 2)(4 5 6)(1 2)(4 5 6)については、変換行列は、

で表現されます。

　共役類C2の元は空間反転のみで、

は、いずれもx､y､z､u､vについて2次式なので空間反転について不変です。

　共役類C4,C6,C8,C16,C17,C12,C14,C22,C19,C21の元は共役類C3,C5,C7,C9,C10,C11,C13,C15,C18,C20の元と空間反転を合成したものとなります。

　変換行列の対角和に注目すると、

ClassC1C2C3C4C5C6C7C8C9C10C11C12C13C14C15C16C17C18C19C20C21C22
Δ1414226622-120000-1-12-1-100-1


　となるので、

ClassC1C2C3C4C5C6C7C8C9C10C11C12C13C14C15C16C17C18C19C20C21C22
Γ151533773303111100300110
Δ1414226622-120000-1-12-1-100-1
X11111111111111111111111
X1055-1-13311-12-1-1110-12-1-1000
X14993333110011-1-1-1000000-1


　より、


Γ＝X1＋Δ＝X1＋X10＋X14
　と簡約されることが予想されます。

　十二角星群の各表現に対応する射影演算子ですが、表現行列は空間反転に対して不変なので、空間反転で指標が符号を変える既約表現X2,X4,X5,X7,X9,X11,X13,X16,X18,X20,X21に対しては射影演算子が0となります。残りの11個の既約表現に対して計算すると、


で、残りの9つの既約表現X1,X3,X6,X8,X12,X15,X17,X19,X22に対しては射影演算子が0となります(この計算にはMagmaを用いました)。

　射影演算子は固有値が0または1ですが、固有値1に対応する固有ベクトルが既約表現の基底に対応します。

　5次元表現X10については、射影演算子の固有値1に対応する固有ベクトルは、

なので、

が基底となります。

　9次元表現X14については、射影演算子の固有値1に対応する固有ベクトルは、

なので、

が基底となります。

　こうして、14次元表現Δが5次元表現X10と9次元表現X14に実際に簡約されることがわかりました。sd14混成軌道の15個の軌道が張る15次元表現Γは、ｓ軌道が属する1次元表現X1とｄ軌道が属する14次元表現Δに簡約され、14次元表現Δは5次元表現X10と9次元表現X14に簡約されるので、

Γ＝X1＋Δ＝X1＋X10＋X14
となります。

　新たな基底を用いてsd14混成軌道の15個の軌道を求めてみます。

　xz平面内に伸び、頂点1と2(頂点1と2)を入れ換える鏡映操作によって不変である軌道は、対蹠点

を結ぶ超立体対角線の方向を向いており、15個のｓｄ14混成軌道へのｓ軌道の寄与が全て等しいので

と仮定します。

　15個のｓｄ14混成軌道のうち10個はxyzu超平面内に伸びていて、残り5つはxyzu超平面外に伸びています。最初に仮定した軌道はxyzu超平面外に伸びていて、15個のｓｄ14混成軌道を等しく重ね合わせると、ｄ軌道の寄与が相殺されてｓ軌道に戻るので、xyzu超平面外に伸びる5つの軌道は

という形をしていて、xyzu超平面内に伸びる10個の軌道は

という形をしています。15個のｓｄ14混成軌道へのdu2軌道の総和は1なので、

で、最初に仮定した軌道は、

となります。

　最初に仮定した軌道は、頂点1と2(頂点1と2)を入れ換える鏡映操作によって不変ですが、鏡映操作によって

という形になります。これより

で、(10/9)b2+10c2=4/5より、c2=3/50となりますが、実際に対蹠点

を結ぶ超立体対角線の方向を向いているのは、

の場合となります。

　最初に仮定した軌道は、

と求められますが、頂点2,3,4,5,6(頂点2,3,4,5,6)を順次入れ換える操作を順次施すと、xyzu超平面外に伸びた他の4つの軌道が、

と求められます。これらにさらに頂点1と2(頂点1と2)を入れ換える鏡映操作を施すと、

と求められます。これらにさらに頂点2,3,4,5,6(頂点2,3,4,5,6)を順次入れ換える操作を順次施すと、xyzu超平面内に伸びた他の6つの軌道が、

と求められます。

　9次元表現X14についての射影演算子

　の固有値1に対応する上記の固有ベクトルは直交していなかったので、改めて直交化した固有ベクトルと既約表現の基底を求めると以下のようになります。

　新たに求めた基底を用いて15個のｓｄ14混成軌道を、ｄ軌道の波動関数を用いて表すと、




となります。さらに、以上15個のｓｄ14混成軌道を、ｄ軌道の波動関数を用いて表すと、



となります。

　このように、sd14混成軌道はStericated 5-simplexの頂点方向に15対30本の腕を伸ばしていますが、五次元空間では、レプトンのスピン状態が4つあるので、一つの結合性軌道には4個までレプトンが入ることができます。15個のsd14混成軌道に価レプトンを1個ずつもち、内殻に24個のレプトンがある原子39（以下Ｘで表します）が15個のハイドロン（以下Ｈで表します）と結合してＸＨ15という分子ができたとすると、結合性軌道にはレプトンが2個しか入っていないので電子不足化合物と同じく活性な化合物となります。

　一つの結合性軌道に4個のレプトンが入るようにするには、Ｘの場合、sd14混成軌道には1つあたり3個ずつのレプトンが外部から供給される必要があるので、合計45個のレプトンが外部から供給されることになります。Ｘの安定なハイドロン化化合物はＸＨ45という式で表されるものになるでしょう。そこで、45個のＨがＸの周りにどのように配置するか考えると、45個のうち30個は、sd14混成軌道の15対30本の腕の両端に位置すると予想されます。残りの15個はＸＨ3015-とイオン的に結合しているのかもしれません。

　Ｘにsd14混成軌道1つあたり3個ずつのレプトンを供給するには、Ｘの周りに15個の原子3（以下Ｔで表します）を配置するという方法もあります。原子3はその次の原子4がヘリウムのように閉殻構造となるので、弗素以上の活性をもったハロゲン元素となると予想されますが、ＸＴ15という化合物は、三次元空間でいうフルオロカーボンの五次元版といえるでしょう。

　Ｘは15個のsd14混成軌道に価レプトンを1個ずつもっていますが、原子54（以下Ｙで表します）は15個のsd14混成軌道に価レプトンを2個ずつもっていて、原子69（以下Ｚで表します）は15個のsd14混成軌道に価レプトンを3個ずつもっていることになります。Ｙ、Ｚの場合に一つの結合性軌道に4個のレプトンが入るようにするには、Ｙではsd14混成軌道に1つあたり2個ずつのレプトンが外部から供給される必要があり、Ｚではsd14混成軌道に1つあたり1個ずつのレプトンが外部から供給される必要があります。Ｙにsd14混成軌道1つあたり2個ずつのレプトンを供給する配置には、Ｙの周りに30個のＨが配置されたＹＨ30や、15個の原子2（以下Ｄで表します）が配置されたＹＤ15が考えられます。ＹＨ30においても、30個のＨはsd14混成軌道の15対30本の腕の両端に位置すると予想されます。Ｚにsd14混成軌道1つあたり1個ずつのレプトンを供給する配置は、Ｚの周りに15個のＨが配置されたＺＨ15となりますが、こちらの方がメタンの五次元版といえるでしょう。