(3+1)極座標系では、

と表現されますが、線素dsは、

となるので、計量テンソルg_ijは、

が、得られます。

　ラプラシアンΔ₄は、

　で、g^ijは、g_ijの逆行列、gはg_ijの行列式です。


の場合は、



なので、

となります。

　ラプラシアンΔ₄の各項は1/r²の次元を共通に持っているので、これをr^kZ(ζ,θ,φ)の形の関数に演算すれば、rに依存する部分は共通の因子r^k-2となります。ラプラス方程式の場合、Δ₄ψ=0を満たすので、共通因子r^k-2を落とすことができて、

となります。

　さらに、Y(θ,φ)を球面調和関数として、Z(ζ,θ,φ)=C(ζ)Y(θ,φ)とすると、



と変数分離できて、t=cosζとおくと、


が得られ、特にのときは、
で、その解は、Gegenbauerの多項式で、
と表すことができます(P_n^(α,β)はJacobiの多項式)。

　のときは、
とおくと、
で、のときも
の解は、Gegenbauerの多項式の微分を用いた
で表すことができます。

　C_n¹(t)は、比例定数を除くと、具体的には、
で、低次のものは、
となります。

　以上より、Z(ζ,θ,φ)の低次のものは次の表のように与えられます。k≧l≧|m|≧0なので、同一のkに対して、1+3+5+･･･+(2k+1)＝(k+1)²種類の超球面調和関数が対応します。