(2+2)極座標系では、
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と表現されますが、線素dsは、
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となるので、計量テンソルgijは、
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が、得られます。
ラプラシアンΔ4は、
で、gijは、gijの逆行列、gはgijの行列式です。
の場合は、
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なので、
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となります。
ラプラシアンΔ4の各項は1/r2の次元を共通に持っているので、これをrkZ(ζ,φ,χ)の形の関数に演算すれば、rに依存する部分は共通の因子rk-2となります。ラプラス方程式の場合、Δ4ψ=0を満たすので、共通因子rk-2を落とすことができて、
D-angular.png)
となります。
さらに、Z(ζ,φ,χ)=f(ζ)e±iφe±iχとすると、
となり、t=cos2ζとおくと、
が得られ、その解は、Jacobiの多項式Pn(α,β)を用いて、
D.png)
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と表すことができます。この関数は、Wignerのd関数ともいいます。
Jacobiの多項式P(k-μ-ν)/2(μ,ν)は、比例定数を除くと、具体的には、
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で、低次のものは、
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となります。
以上より、Z(ζ,φ,χ)の低次のものは次の表のように与えられます。μ+ν≧0、μ+ν＝k,k-2,k-4,･･･で、μ≠0，ν≠0のときは複号±をとるので、
k＝0のときは1個、
k＝1のときは2＋2＝4個、
k＝2のときは(2＋4＋2)＋1=9個、
k＝3のときは(2＋4＋4＋2)＋(2＋2)=16個、
で、一般に
k＝2nのときは
1＋(2＋4＋2)＋(2＋4＋4＋4＋2)＋･･･＋(2＋4＋･･･＋4＋2)
＝1＋8＋16＋･･･＋8n＝4n(n+1)＋1＝(2n+1)2＝(k+1)2
k＝2n+1のときは
(2＋2)＋(2＋4＋4＋2)＋･･･＋(2＋4＋･･･＋4＋2)
＝4＋12＋20＋･･･＋4(2n+1)＝4(n+1)2＝(k+1)2
で、同一のkに対して、(3+1)極座標のときと同じく(k+1)2種類の超球面調和関数が対応します。
D-hyperspherical-harmonic-table.png)
x,y,z,uについての同次多項式は、一見すると、(3+1)極座標のときと異なっているように見えますが、zとuについては実部と虚部に分けて考えると、1次の場合はz±uiのかわりにzとuが独立な多項式となり、2次の場合は、(z±ui)2＝(z2−u2)±2zuiより、
(z2＋u2−x2−y2)＋(z2−u2)＝2z2−x2−y2
(z2＋u2−x2−y2)−2(z2−u2)＝3u2−x2−y2−z2
と、(3+1)極座標のときと同じ組み合わせの多項式を与えます。
3次の場合についても、(z±ui)3＝(z2−3u2)z±(3z2−u2)uiより、
(2(z2＋u2)−(x2＋y2))(x±yi)＋2(z2−u2)(x±yi)＝(4z2−x2−y2)(x±yi)
(2(z2＋u2)−(x2＋y2))(x±yi)−3(z2−u2)(x±yi)＝(5u2−x2−y2−z2)(x±yi)
(1/2)(z2−3u2)z＋(3/2)((z2＋u2)−2(x2＋y2))z＝(2z2−3x2−3y2)z
(-3/2)(z2−3u2)z＋(1/2)((z2＋u2)−2(x2＋y2))z＝(5u2−x2−y2−z2)z
(1/2)(3z2−u2)u＋(1/2)((z2＋u2)−2(x2＋y2))u＝(2z2−x2−y2)u
(-1/2)(3z2−u2)u＋(1/2)((z2＋u2)−2(x2＋y2))u＝(u2−x2−y2−z2)u
と、(3+1)極座標のときと同じ組み合わせの多項式を与えます。