超球面調和関数

　球面調和関数(spherical harmonics)とは、3次元のラプラス方程式の解を極座標系で書いたときの角度部分の関数です。

4次元以上の高次元空間でも、ラプラス方程式の解を極座標系で書いたときの角度部分の関数を定義することができて、これは超球面調和関数(hyperspherical harmonics)といいます。

　ところで、3次元では本質的には一意的な極座標で表現できるのですが、4次元以上では一意的な極座標表現は不可能で、極座標による表現方法が複数あります。

　4次元の場合には、
　と表現するのが一般的ですが、この他に、
　と表現する方法もあります。以下、前者を(3+1)極座標系、後者を(2+2)極座標系ということにします。

　同じく、5次元の場合にも、
　と表現するのが一般的ですが、この他に、
　と表現する方法と、
　と表現する方法もあります。以下、第一の極座標系を(3+1+1)極座標系、第二の極座標系を(2+2+1)極座標系、第三の極座標系を(3+2)極座標系ということにします。

4次元超球面調和関数

・(3+1)極座標系の場合

・(2+2)極座標系の場合

5次元超球面調和関数

・(3+1+1)極座標系の場合

・(2+2+1)極座標系の場合

・(3+2)極座標系の場合