Energy levels of tauonic hydrogen-like atoms

　こちらの論文では、タウ粒子の質量を核子質量の2倍、原子核半径を1.1×A^1/3(fm)(A:質量数)としたときの、鉛原子核とタウ粒子の束縛状態である"tau atom"のエネルギー準位が計算されています。タウ粒子の質量を核子質量の2倍、原子核半径を1.1×A^1/3(fm)として、実際に計算してみた結果が以下のとおりです。論文では換算質量で計算していないので、多少数値が異なりますが、ほぼ同じ結果となります。

E(MeV) Ec(MeV) κ k 1s -22.679 -330.356 0.000 3.817 2s -16.780 -82.589 0.983 4.437 3s -11.808 -36.706 1.811 5.289 4s -8.573 -20.647 2.350 6.208 5s -6.438 -13.214 2.706 7.163 6s -4.990 -9.177 2.948 8.137 7s -3.973 -6.742 3.117 9.119 8s -3.234 -5.162 3.240 10.107 9s -2.682 -4.078 3.332 11.098 10s -2.260 -3.304 3.403 12.090

E(MeV) Ec(MeV) κ k 2p -19.691 -82.589 -0.002 4.096 3p -14.041 -36.706 0.939 4.851 4p -9.944 -20.647 1.622 5.764 5p -7.323 -13.214 2.059 6.717 6p -5.591 -9.177 2.347 7.687 7p -4.397 -6.742 2.546 8.668 8p -3.544 -5.162 2.689 9.655 9p -2.915 -4.078 2.793 10.646 10p -2.439 -3.304 2.873 11.638

E(MeV) Ec(MeV) κ k 3d -16.736 -36.706 -0.010 4.443 4d -11.596 -20.647 0.847 5.337 5d -8.355 -13.214 1.387 6.288 6d -6.260 -9.177 1.736 7.264 7d -4.854 -6.742 1.970 8.250 8d -3.869 -5.162 2.134 9.241 9d -3.154 -4.078 2.254 10.234 10d -2.620 -3.304 2.343 11.229

　タウ粒子の質量を実際の質量にして、原子核半径を1.3×A^1/3(fm)として、さらに多くの準位について計算したのが以下の結果です。

　まず、²⁰⁸Pb（Z＝82）＋τ^-の系については、以下のようになります。

208Pb（Z＝82）＋τ- 　 E(MeV) Ec(MeV) κ k 1s -19.411 -313.165 0.000 4.030 2s -14.690 -78.291 0.987 4.632 3s -10.557 -34.796 1.852 5.464 4s -7.760 -19.573 2.437 6.373 5s -5.876 -12.609 2.831 7.324 6s -4.582 -8.756 3.101 8.294 7s -3.665 -6.433 3.293 9.274 8s -2.995 -4.925 3.433 10.259 9s -2.491 -3.892 3.538 11.248 10s -2.104 -3.152 3.620 12.241 2p -17.028 -78.291 -0.002 4.303 3p -12.454 -34.796 0.955 5.031 4p -8.955 -19.573 1.687 5.933 5p -6.667 -12.609 2.165 6.876 6p -5.128 -8.756 2.487 7.840 7p -4.054 -6.433 2.712 8.818 8p -3.280 -4.925 2.874 9.803 9p -2.706 -3.892 2.994 10.793 10p -2.270 -3.152 3.085 11.783

208Pb（Z＝82）＋τ- 　 E(MeV) Ec(MeV) κ k 3d -14.662 -34.796 -0.007 4.637 4d -10.415 -19.573 0.881 5.501 5d -7.592 -12.609 1.472 6.444 6d -5.733 -8.756 1.860 7.415 7d -4.470 -6.433 2.125 8.397 8d -3.579 -4.925 2.311 9.385 9d -2.928 -3.892 2.447 10.376 10d -2.438 -3.152 2.550 11.370 4f -12.343 -19.573 -0.022 5.054 5f -8.648 -12.609 0.751 6.037 6f -6.400 -8.756 1.221 7.018 7f -4.917 -6.433 1.531 8.007 8f -3.891 -4.925 1.746 9.001 9f -3.152 -3.892 1.900 9.997 10f -2.608 -3.152 2.014 10.994

208Pb（Z＝82）＋τ- 　 E(MeV) Ec(MeV) κ k 5g -10.119 -12.609 -0.057 5.581 6g -7.156 -8.756 0.563 6.637 7g -5.381 -6.433 0.934 7.654 8g -4.203 -4.925 1.180 8.660 9g -3.375 -3.892 1.354 9.664 10g -2.771 -3.152 1.480 10.666 6h -8.071 -8.756 -0.129 6.249 7h -5.884 -6.433 0.329 7.319 8h -4.519 -4.925 0.614 8.352 9h -3.590 -3.892 0.809 9.370 10h -2.925 -3.152 0.948 10.382 7i -6.303 -6.433 -0.259 7.072 8i -4.789 -4.925 0.058 8.113 9i -3.774 -3.892 0.270 9.139 10i -3.056 -3.152 0.420 10.156 8j -4.911 -4.925 -0.468 8.012 9j -3.872 -3.892 -0.250 9.023 10j -3.132 -3.152 -0.096 10.032 9k -3.891 -3.892 -0.803 9.001 10k -3.151 -3.152 -0.599 10.002 10l -3.152 -3.152 -1.100 10.000

　次に、¹²¹Sb（Z＝51）＋τ^-の系については、以下のようになります。

121Sb（Z＝51）＋τ- 　 E(MeV) Ec(MeV) κ k 1s -13.425 -121.140 -0.002 3.004 2s -8.771 -30.285 0.936 3.716 3s -5.649 -13.460 1.565 4.631 4s -3.877 -7.571 1.922 5.590 5s -2.809 -4.846 2.138 6.567 6s -2.124 -3.365 2.276 7.552 7s -1.660 -2.472 2.369 8.543 8s -1.332 -1.893 2.435 9.537 9s -1.092 -1.496 2.484 10.533 10s -0.772 -1.211 2.548 12.525 2p -10.988 -30.285 -0.011 3.320 3p -6.881 -13.460 0.817 4.196 4p -4.579 -7.571 1.281 5.143 5p -3.234 -4.846 1.552 6.120 6p -2.398 -3.365 1.721 7.108 7p -1.847 -2.472 1.832 8.099 8p -1.465 -1.893 1.909 9.093 9p -1.190 -1.496 1.964 10.090 10p -0.985 -1.211 2.005 11.090

121Sb（Z＝51）＋τ- 　 E(MeV) Ec(MeV) κ k 3d -8.642 -13.460 -0.038 3.744 4d -5.391 -7.571 0.617 4.740 5d -3.689 -4.846 0.960 5.730 6d -2.680 -3.365 1.164 6.723 7d -2.033 -2.472 1.294 7.719 8d -1.594 -1.893 1.383 8.718 9d -1.284 -1.496 1.445 9.713 10d -1.056 -1.211 1.491 10.713 4f -6.491 -7.571 -0.104 4.320 5f -4.206 -4.846 0.356 5.367 6f -2.973 -3.365 0.605 6.383 7f -2.217 -2.472 0.757 7.392 8f -1.718 -1.893 0.858 8.397 9f -1.371 -1.496 0.928 9.400 10f -1.120 -1.211 0.978 10.402

121Sb（Z＝51）＋τ- 　 E(MeV) Ec(MeV) κ k 5g -4.683 -4.846 -0.240 5.086 6g -3.234 -3.365 0.052 6.120 7g -2.377 -2.472 0.225 7.139 8g -1.824 -1.893 0.336 8.149 9g -1.445 -1.496 0.413 9.156 10g -1.173 -1.211 0.467 10.162 6h -3.353 -3.365 -0.472 6.011 7h -2.458 -2.472 -0.292 7.020 8h -1.881 -1.893 -0.175 8.025 9h -1.486 -1.496 -0.096 9.029 10h -1.203 -1.211 -0.039 10.035 7i -2.472 -2.472 -0.794 7.000 8i -1.892 -1.893 -0.678 8.001 9i -1.495 -1.496 -0.597 9.002 10i -1.211 -1.211 -0.540 10.002 8j -1.893 -1.893 -1.178 8.000 9j -1.496 -1.496 -1.098 9.000 10j -1.211 -1.211 -1.040 10.000 9k -1.496 -1.496 -1.598 9.000 10k -1.211 -1.211 -1.540 10.000 10l -1.211 -1.211 -1.540 10.000

　さらに、²⁰⁸Pb（Z＝82）＋τ^-の系と¹²¹Sb（Z＝51）＋τ^-の系について、タウ粒子の原子核中心からの平均距離を計算すると以下のようになります。

　²⁰⁸Pb＋τ^-の系で各軌道の動径分布関数(波動関数を2乗し動径の2乗を乗じたもの)の極大値と原子核中心からの平均距離を計算したのが以下の結果です。最初の9つの準位(1s,2p,2s,3d,3p,4f,3s,4d,5g)で、原子核中心からの平均距離が原子核内部に入っています。3s，4d，5gの準位では、原子核中心からの平均距離が原子核表面近傍となりますが、1s〜4fの6つの準位では三次元調和振動子型ポテンシャルの底部に局在するので、κも整数値に近くなります。

	極大値(fm)	平均距離(fm)
1s	3.0	3.4
2p	4.3	4.6
2s	1.7, 6.2	5.3
3d	5.3	5.6
3p	2.9, 7.4	6.4
4f	6.2	6.5
3s	1.5, 4.6, 9.1	7.6
4d	3.8, 8.6	7.6
5g	7.0	7.5
4p	2.5, 5.8, 10.6	9.2
5f	4.7, 10.0	9.1
6h	8.1	8.7

　なお、動径方向で規格化した波動関数と動径分布関数は以下に示すとおりです。横軸の単位はfmで、原点は原子核中心です。動径に動径分布関数を乗じて0〜∞で積分した値が原子核中心からの平均距離となります。

波動関数(1s-4f)	動径分布関数(1s-4f)
波動関数(3s-5g)	動径分布関数(3s-5g)
波動関数(4p-6h)	動径分布関数(4p-6h)

　¹²¹Sb＋τ^-の系で各軌道の動径分布関数(波動関数を2乗し動径の2乗を乗じたもの)の極大値と原子核中心からの平均距離を計算したのが以下の結果です。最初の4つの準位(1s,2p,2s,3d)で、原子核中心からの平均距離が原子核内部に入っていて、三次元調和振動子型ポテンシャルの底部に局在するので、κが整数値に近くなります。

	極大値(fm)	平均距離(fm)
1s	3.0	3.4
2p	4.3	4.6
2s	1.8, 6.4	5.6
3d	5.3	5.7
3p	3.0, 8.0	7.3
4f	6.4	7.1

　なお、動径方向で規格化した波動関数と動径分布関数は以下に示すとおりです。横軸の単位はfmで、原点は原子核中心です。動径に動径分布関数を乗じて0〜∞で積分した値が原子核中心からの平均距離となります。

波動関数

動径分布関数