中心力ポテンシャル中での質点の運動
「ケプラーの法則」のうちの一つ、「面積速度一定の法則」はその運動の原因が中心力である限りどんな中心力による運動に対しても成り立ちますが、「面積速度一定の法則」から近点と遠点での公転速度、公転角速度の比は近点距離と遠点距離の比のそれぞれ逆一乗、逆二乗に比例しますが、このことから、遠心力は、近点距離と遠点距離の比の逆三乗に比例します。
三次元空間のクーロン力は距離の逆二乗に比例する中心力なので、物体が力の中心に近づいたときにそれによって起きる速度の増大による遠心力の増加は逆三乗に比例するので、中心力の増加に打ち勝つことができ、物体は中心から離れていき、その逆に物体が力の中心から遠ざかったときには、この逆の現象が起こるので、力の中心からの距離の増大が止まって減少に転ずるので、結果として物体は力の中心から一定の範囲を外れることなく周回し続けます。三次元空間のクーロン力の場合には、力の中心を焦点の一つとする楕円軌道を描くことになります。
これに対して、五次元空間のクーロン力は距離の逆四乗に比例する中心力なので、物体が力の中心に近づいたときにそれによって起きる速度の増大による遠心力の増加がそれによる引力の増加に打ち勝つことができず、力の中心からの距離の減少に歯止めがきかず、その結果ついには力の中心に衝突してしまい、その逆に物体が力の中心から遠ざかったときには、この逆の現象が起こるので、力の中心からの距離の増大に歯止めがきかず、ついにはその引力を振り切って永久にその近くには戻ってきません。
また、四次元空間のクーロン力は距離の逆三乗に比例する中心力ですが、この場合も、物体が力の中心に近づいたときにそれによって起きる速度の増大による遠心力の増加がそれによる引力の増加に打ち勝つことができず、力の中心からの距離の減少に歯止めがきかず、その結果ついには力の中心に衝突してしまい、その逆に物体が力の中心から遠ざかったときには、この逆の現象が起こるので、力の中心からの距離の増大に歯止めがきかず、ついにはその引力を振り切って永久にその近くには戻ってきません。
二次元空間のクーロン力は距離の逆一乗に比例する中心力ですが、この場合は、物体が力の中心に近づいたときにそれによって起きる速度の増大による遠心力の増加は逆三乗に比例するので、中心力の増加に打ち勝つことができ、物体は中心から離れていき、その逆に物体が力の中心から遠ざかったときには、この逆の現象が起こるので、力の中心からの距離の増大が止まって減少に転ずるので、結果として物体は力の中心から一定の範囲を外れることなく周回し続けます。
ただし、その軌道は、近点と遠点が力の中心に対してなす角(アプス角：apsidal angle)は、軌道が充分円に近い場合には(180/√2)°＝127.279…°となります。一般に、中心力が距離のn乗に比例する力である場合、アプス角は(180/√(n+3))°となります(こちら>を参照)。様々なnの場合について軌道を計算したものが下の図のようになります。
逆(3/4)乗力の場合：アプス角＝120°
2公転の間に3回近点を通過するので、三つ葉型の軌道となります。
逆(11/9)乗力の場合：アプス角＝135°
3公転の間に4回近点を通過するので、四つ葉型の軌道となります。
逆(26/25)乗力の場合：アプス角＝(900/7)°＝128.57…°
5公転の間に7回近点を通過する七つ葉型の軌道となります。
逆(47/49)乗力の場合：アプス角＝126°
7公転の間に10回近点を通過する十枚葉型の軌道となります。
逆(11/4)乗力の場合：アプス角＝360°
2公転の間に1回しか近点を通過しません。
逆(26/9)乗力の場合：アプス角＝540°
3公転の間に1回しか近点を通過しません。
n=-3でアプス角は無限大となり、n<-3でアプス角は虚数となり、四次元空間のクーロン力が前者の場合、五次元空間のクーロン力が後者の場合となりますが、このことからも、四次元以上の高次元空間では、物体がクーロン力の中心から一定の範囲を外れることなく周回し続ける軌道というのは存在しないことになります。
このように、四次元以上の高次元空間では、長岡半太郎（1865〜1950）の土星型原子モデルやラザフォードの太陽系型原子モデルのような原子は安定して存在しません。また、万有引力もクーロン型中心力であるので、太陽系のような安定した惑星系も存在しません。また、二次元空間ではクーロン力のポテンシャルエネルギーは距離の対数に比例することになるので(∫(1/r)dr=log(r))、距離が無限大になるとクーロン力のポテンシャルエネルギーも無限大となります。したがって、電子を原子核から完全に引き離すことはできないことになります。