4+0次元時空間のディラック方程式について
・反粒子解について
4+0次元時空間での自由スピノル場のDirac方程式は、
で(添え字kは1から3まで走る。)、4×4行列に拡張した2組のPauli行列
を用いて、
と、表記し、ρ3を左から乗じると、
となる。
ここで、平面波解
を仮定すると、
であるから、
とおき、
を用いると、
となる。すると、
より、
を用いて、
であるから、
と対角化できる。これより、pt=Eとすると、
であるから、
と対角化でき、
となる。
と、上2成分のスピノルφ0と下2成分のスピノルχ0で表すと、
となる。
であるから、pが小さい領域では、
であり、上2成分が支配的な解は、
となり、負エネルギー解で、反粒子解となり、下2成分が支配的な解は、
となり、正エネルギー解で、正粒子解となる。
・荷電共役行列について
電磁場中のスピノル場ψのDirac方程式は、
で、
であるから、
となる。
ここで、
なる行列Cを考え、
とおくと、電磁場中のスピノル場ψ’のDirac方程式は、
で、スピノル場ψ’はスピノル場ψとは反対電荷の粒子として振る舞う。
次に、行列Cの具体的な表現については、
であるから、
であり、
より、
なので、
である。
スピノル場ψ’は、
であるから、
より、
とおくと、
である。
・対生成について
運動量kの光子が、対生成によって、質量mで等しい運動量pの粒子・反粒子を生成し、それぞれが光子の進行方向に対して±θ方向に運動する場合を考える。
orthogonal宇宙では、光子は有限の質量mphをもつので、運動量保存則
および、エネルギー保存則
から、
より、
である。
このことは、
より、
であるから、光子はその質量の1/2以上の粒子・反粒子の対に崩壊しうることを意味する。
また、
は、k=0においても成立するから、たとえ低エネルギーの極限においても、粒子・反粒子の生成が起こりうることを意味する。