古代の宇宙観は、地球の周りを太陽や諸惑星が公転するという天動説でした。単純な天動説では、太陽や諸惑星が円軌道を描いて地球の周りを公転するというものでしたが、その後、惑星の逆行運動や太陽の不等速運動を説明するために、周転円や離心円を使うようになりました。コペルニクスはこうした地球中心説に対して、太陽中心説としての地動説を唱えました。しかし、コペルニクスの時代でも、天界の運動は完全な円軌道であるべきと信じられていたので、惑星や太陽の運動を説明するために依然として周転円が用いられていました。
コペルニクスの「天球回転論」の「コメンタリオルス」によると、金星、火星、木星、土星の4惑星については、導円（周転円の中心が太陽を中心に描く円）と2つの周転円の組み合わせで惑星運動が説明されていて、第1周転円は導円の回転を相殺するように回転し、第2周転円は導円の2倍の角速度で回転するとされています。そして、導円、第1周転円、第2周転円の半径が、次のように与えられています。コペルニクスは地球の導円の半径を25単位とし、1/60単位を0;01単位と表記しています。
| 導円 | 第1周転円 | 第2周転円 |
| 金星 | 18;00 | 0;45 | 0;15 |
| 火星 | 38;00 | 5;34 | 1;51 |
| 木星 | 130;25 | 10;06 | 3;22 |
| 土星 | 230;50 | 19;41 | 6;34 |
惑星の楕円運動は、平均近点角をM、真近点角をν、長半径をa、動径をr、離心率をeとすると、eの1次まででは、複素数座標表示で表すと、
r exp(iν)= a ( exp(iM) - ( (3/2)- (1/2) exp(2iM)) e )
で近似することができます。コペルニクスの体系の導円、第1周転円、第2周転円はそれぞれeの0次項、第1周転円はeの1次項の定数成分、第2周転円はeの1次項のexp(2iM)の成分となります。コペルニクスの体系では、第2周転円の半径は第1周転円の半径の1/3となっていますが、上記の近似でもそのようになっています。
上記の4惑星について、(3/2)aeと(1/2)aeを計算すると、以下のようになります(単位はAU)。
| 導円 | 第1周転円 | 第2周転円 |
| コペルニクス | 実測 | コペルニクス | 実測 | コペルニクス | 実測 |
| 金星 | 0.720 | 0.723 | 0.03 | 0.0078 | 0.01 | 0.0025 |
| 火星 | 1.520 | 1.524 | 0.223 | 0.213 | 0.074 | 0.0712 |
| 木星 | 5.217 | 5.203 | 0.404 | 0.378 | 0.135 | 0.126 |
| 土星 | 9.233 | 9.555 | 0.787 | 0.795 | 0.263 | 0.265 |
金星はもともと離心率が小さいせいか、コペルニクスの体系では誤差が大きいのですが、火星、木星、土星については実測値に近い値を与えています。
水星から海王星までの8惑星と、冥王星、エリスの2つの準惑星について、e、e2、e3、e4を計算してみると、
| e | e2 | e3 | e4 |
| 水星 | 0.2056 | 0.04227136 | 0.008690992 | 0.001786868 |
| 金星 | 0.0068 | 0.00004624 | 3.14432E-07 | 2.13814E-09 |
| 地球 | 0.0167 | 0.00027889 | 4.65746E-06 | 7.77796E-08 |
| 火星 | 0.0934 | 0.00872356 | 0.000814781 | 7.61005E-05 |
| 木星 | 0.0485 | 0.00235225 | 0.000114084 | 5.53308E-06 |
| 土星 | 0.0555 | 0.00308025 | 0.000170954 | 9.48794E-06 |
| 天王星 | 0.0463 | 0.00214369 | 9.92528E-05 | 4.59541E-06 |
| 海王星 | 0.009 | 0.000081 | 0.000000729 | 6.561E-09 |
| 冥王星 | 0.249 | 0.062001 | 0.015438249 | 0.003844124 |
| エリス | 0.435 | 0.189225 | 0.082312875 | 0.035806101 |
となって、天王星、海王星についてはe2以上は無視できるほど小さくなりますが、水星についてはe2、冥王星とエリスにいたっては、e3、e4も無視できない大きさとなります。
コペルニクスの体系では、水星の軌道は導円、第1周転円、第2周転円に加えて、Tusi(トゥースィー)の対円という仕組みを使って、第1周転円の中心と太陽の距離を変動させています。Tusiの対円とは下の図で破線で描いた円Ｏと円Ｐの組のことで、円Ｐ上の点Ｒが直線運動をするものです。
惑星の楕円運動の近似式はe2までで
r exp(iν)= a ( exp(iM) - ( (3/2) - (1/2)exp(2iM) ) e + ( (3/8)exp(3iM) - (1/2)exp(iM) + (1/8)exp(-iM)) e2 )
となりますが、Tusiの対円を使った近似では、
r exp(iν)= a ( exp(iM) - ( (3/2) - (1/2)exp(2iM) ) e + ( (1/4)exp(3iM) - (1/2)exp(iM) + (1/4)exp(-iM)) e2 )
となります。
e2の項について抜き出して軌跡を描かせると、Tusiの対円の場合、2次近似式の場合、exp(3iM)の成分のみの場合とでは下の図のようになります。
なお、2次近似式の場合を、導円に固定した座標系で見ると、下の図のようになります。
2次近似式の場合は、Tusiの対円のかわりに、対円の半径をそれぞれ3/2倍、1/2倍した第3、第4の周転円を導入した方が近似がよくなりますが、水星の場合にこれを適用すると次のようになります。
| 導円 | 第1周転円 | 第2周転円 | Tusi対円(直径) | 第3周転円 | 第4周転円 |
| コペルニクス | 9;24(単位) | 1;41 | 0;34 | 0;29 | | |
| 0.376(AU) | 0.067 | 0.022 | 0.019 | 0.0145 | 0.005 |
| 実測 | 0.379 | 0.119 | 0.040 | | 0.006 | 0.002 |