11進法の場合の乗法持続係数
N≧10のN進法では\((3\times 3)_{(N)}=9_{(N)}\)、\((3\times 6)_{(N)}=(2\times 9)_{(N)}\)、\((6\times 6)_{(N)}=(4\times 9)_{(N)}\)となります。
\((3\times 3)_{(N)}=9_{(N)}\)なので、\(3\le a_{1},a_{2},\cdots ,a_{i}\lt 9\le a_{i+1},\cdots ,a_{n}\lt \mathrm{\small N}\)とすると、\((33a_{1}a_{2}\cdots a_{n})_{(N)}\)という数と\((a_{1}a_{2}\cdots a_{i}9a_{i+1}\cdots a_{n})_{(N)}\)という数では、各位の数字を掛け合わせると同じ結果になり、\((a_{1}a_{2}\cdots a_{i}9a_{i+1}\cdots a_{n})_{(N)}\lt (33a_{1}a_{2}\cdots a_{n})_{(N)}\)なので、MP≧3となる各MPについての最小数の探索において、各位の数字の中に3が2つ以上含まれる場合は除かれます。
\((3\times 6)_{(N)}=(2\times 9)_{(N)}\)なので、\(6\le a_{1},a_{2},\cdots ,a_{i}\lt 9\le a_{i+1},\cdots ,a_{n}\lt \mathrm{\small N}\)とすると、\((36a_{1}a_{2}\cdots a_{n})_{(N)}\)という数と\((2a_{1}a_{2}\cdots a_{i}9a_{i+1}\cdots a_{n})_{(N)}\)という数では、各位の数字を掛け合わせると同じ結果になり、\((2a_{1}a_{2}\cdots a_{i}9a_{i+1}\cdots a_{n})_{(N)}\lt (36a_{1}a_{2}\cdots a_{n})_{(N)}\)なので、MP≧3となる各MPについての最小数の探索において、各位の数字の中に3と6が含まれる場合は除かれます。
\((6\times 6)_{(N)}=(4\times 9)_{(N)}\)なので、\(6\le a_{1},a_{2},\cdots ,a_{i}\lt 9\le a_{i+1},\cdots ,a_{n}\lt \mathrm{\small N}\)とすると、\((66a_{1}a_{2}\cdots a_{n})_{(N)}\)という数と\((4a_{1}a_{2}\cdots a_{i}9a_{i+1}\cdots a_{n})_{(N)}\)という数では、各位の数字を掛け合わせると同じ結果になり、\((4a_{1}a_{2}\cdots a_{i}9a_{i+1}\cdots a_{n})_{(N)}\lt (66a_{1}a_{2}\cdots a_{n})_{(N)}\)なので、MP≧3となる各MPについての最小数の探索において、各位の数字の中に6が2つ以上含まれる場合は除かれます。
N≧11のN進法では\((2\times 5)_{(N)}=\mathrm{\small A}_{(N)}\)、\((4\times 5)_{(N)}=(2\times \mathrm{\small A})_{(N)}\)、\((5\times 6)_{(N)}=(3\times \mathrm{\small A})_{(N)}\)、\((5\times 8)_{(N)}=(4\times \mathrm{\small A})_{(N)}\)となります
\((2\times 5)_{(N)}=\mathrm{\small A}_{(N)}\)なので、\(5\le a_{1},a_{2},\cdots ,a_{i}\lt \mathrm{\small A}\le a_{i+1},\cdots ,a_{n}\lt \mathrm{\small N}\)とすると、\((25a_{1}a_{2}\cdots a_{n})_{(N)}\)という数と\((a_{1}a_{2}\cdots a_{i}\mathrm{\small A}a_{i+1}\cdots a_{n})_{(N)}\)という数では、各位の数字を掛け合わせると同じ結果になり、\((a_{1}a_{2}\cdots a_{i}\mathrm{\small A}a_{i+1}\cdots a_{n})_{(N)}\lt (25a_{1}a_{2}\cdots a_{n})_{(N)}\)なので、MP≧3となる各MPについての最小数の探索において、各位の数字の中に2と5が含まれる場合は除かれます。
\((4\times 5)_{(N)}=(2\times \mathrm{\small A})_{(N)}\)なので、\(5\le a_{1},a_{2},\cdots ,a_{i}\lt \mathrm{\small A}\le a_{i+1},\cdots ,a_{n}\lt \mathrm{\small N}\)とすると、\((45a_{1}a_{2}\cdots a_{n})_{(N)}\)という数と\((2a_{1}a_{2}\cdots a_{i}\mathrm{\small A}a_{i+1}\cdots a_{n})_{(N)}\)という数では、各位の数字を掛け合わせると同じ結果になり、\((2a_{1}a_{2}\cdots a_{i}\mathrm{\small A}a_{i+1}\cdots a_{n})_{(N)}\lt (45a_{1}a_{2}\cdots a_{n})_{(N)}\)なので、MP≧3となる各MPについての最小数の探索において、各位の数字の中に4と5が含まれる場合は除かれます。
\((5\times 6)_{(N)}=(3\times \mathrm{\small A})_{(N)}\)なので、\(6\le a_{1},a_{2},\cdots ,a_{i}\lt \mathrm{\small A}\le a_{i+1},\cdots ,a_{n}\lt \mathrm{\small N}\)とすると、\((56a_{1}a_{2}\cdots a_{n})_{(N)}\)という数と\((3a_{1}a_{2}\cdots a_{i}\mathrm{\small A}a_{i+1}\cdots a_{n})_{(N)}\)という数では、各位の数字を掛け合わせると同じ結果になり、\((3a_{1}a_{2}\cdots a_{i}\mathrm{\small A}a_{i+1}\cdots a_{n})_{(N)}\lt (56a_{1}a_{2}\cdots a_{n})_{(N)}\)なので、MP≧3となる各MPについての最小数の探索において、各位の数字の中に5と6が含まれる場合は除かれます。
\((5\times 8)_{(N)}=(4\times \mathrm{\small A})_{(N)}\)なので、\(8\le a_{1},a_{2},\cdots ,a_{i}\lt \mathrm{\small A}\le a_{i+1},\cdots ,a_{n}\lt \mathrm{\small N}\)とすると、\((58a_{1}a_{2}\cdots a_{n})_{(N)}\)という数と\((4a_{1}a_{2}\cdots a_{i}\mathrm{\small A}a_{i+1}\cdots a_{n})_{(N)}\)という数では、各位の数字を掛け合わせると同じ結果になり、\((4a_{1}a_{2}\cdots a_{i}\mathrm{\small A}a_{i+1}\cdots a_{n})_{(N)}\lt (58a_{1}a_{2}\cdots a_{n})_{(N)}\)なので、MP≧3となる各MPについての最小数の探索において、各位の数字の中に5と8が含まれる場合は除かれます。
したがって、N≧11のN進法では、MP≧3となる各MPについての最小数の探索から、各位の数字の中に
2が2つ以上含まれる場合、2と3が含まれる場合、2と4が含まれる場合、2と5が含まれる場合、
3が2つ以上含まれる場合、3と4が含まれる場合、3と6が含まれる場合、
4が2つ以上含まれる場合、4と5が含まれる場合、4と6が含まれる場合、
5と6が含まれる場合、5と8が含まれる場合、
6が2つ以上含まれる場合が除かれます。(こちらも参照。)
以上をまとめると、2～Aの各数字に続く数字は以下のようになります。
\begin{array}{|r|l|}
\hline
2 & 6,7,8,9,\mathrm{\small A} \\ \hline
3 & 5,7,8,9,\mathrm{\small A} \\ \hline
4 & 7,8,9,\mathrm{\small A} \\ \hline
5 & 5,7,9,\mathrm{\small A} \\ \hline
6 & 7,8,9,\mathrm{\small A} \\ \hline
7 & 7,8,9,\mathrm{\small A} \\ \hline
8 & 8,9,\mathrm{\small A} \\ \hline
9 & 9,\mathrm{\small A} \\ \hline
\mathrm{\small A} & \mathrm{\small A} \\ \hline
\end{array}
この結果を用いると、11進法では、MP≧3となる各MPについての最小数は、
\(x\overset{n_{1}}{\overbrace{7\cdots 7}}\overset{n_{2}}{\overbrace{8\cdots 8}}\overset{n_{3}}{\overbrace{9\cdots 9}}\overset{n_{4}}{\overbrace{\mathrm{\small A}\cdots \mathrm{\small A}}}_{(11)},\ x=\emptyset,2,3,4,6,26\)、
\(x\overset{n_{1}}{\overbrace{5\cdots 5}}\overset{n_{2}}{\overbrace{7\cdots 7}}\overset{n_{3}}{\overbrace{9\cdots 9}}\overset{n_{4}}{\overbrace{\mathrm{\small A}\cdots \mathrm{\small A}}}_{(11)},\ x=\emptyset,3\)
というパターンに限られることになります。
11進法では、各位の数字の積の素因数分解は、\(2^{i}3^{j}5^{k}7^{l}\)で表されますが、各桁について、素因数5,7は高々1つまで含まれるので、k+ℓの値は桁数以下となります。
第1のパターンについては、\(\overset{n_{1}}{\overbrace{7\cdots 7}}\overset{n_{2}}{\overbrace{8\cdots 8}}\overset{n_{3}}{\overbrace{9\cdots 9}}\overset{n_{4}}{\overbrace{\mathrm{\small A}\cdots \mathrm{\small A}}}_{(11)}\)の各位の数字の積の素因数分解は、\(2^{3n_{2}+n_{4}}3^{2n_{3}}5^{n_{4}}7^{n_{1}}\)と表すことができ、n1+n4≦100、n2,n3≦30で探索しました。
第2のパターンについては、\(\overset{n_{1}}{\overbrace{5\cdots 5}}\overset{n_{2}}{\overbrace{7\cdots 7}}\overset{n_{3}}{\overbrace{9\cdots 9}}\overset{n_{4}}{\overbrace{\mathrm{\small A}\cdots \mathrm{\small A}}}_{(11)}\)の各位の数字の積の素因数分解は、\(2^{n_{4}}3^{2n_{3}}5^{n_{1}+n_{4}}7^{n_{2}}\)と表すことができ、n1+n2+n4≦100、n3≦30で探索しました。
以上の結果をまとめると、各MPについての最小数は、11進法表記では以下のような結果になります。
\begin{array}{|r|r|c|}
\hline
\mathrm{MP}&左記の\mathrm{MP}となる最小数(11進法表記)&各位の数字の積の素因数分解 \\ \hline
1 & 10 &- \\ \hline
2 & 26 & 2^{2}3^{1} \\ \hline
3 & 3\mathrm{\small A} & 2^{1}3^{1}5^{1} \\ \hline
4 & 69 & 2^{1}3^{3} \\ \hline
5 & 269 & 2^{2}3^{3} \\ \hline
6 & 3579 & 3^{3}5^{1}7^{1} \\ \hline
7 & 26778 & 2^{5}3^{1}7^{2} \\ \hline
8 & 47788\mathrm{\small A} & 2^{9}5^{1}7^{2} \\ \hline
9 & 67899\mathrm{\small AAA} & 2^{7}3^{5}5^{3}7^{1} \\ \hline
10 & 77777889999 & 2^{6}3^{8}7^{5} \\ \hline
11 & 3788899999999999\mathrm{\small AAA} & 2^{12}3^{23}5^{3}7^{1} \\ \hline
12 & 399999\mathrm{\small AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA} & 2^{23}3^{11}5^{23} \\ \hline
13 & 6777777777777777778888888999999\mathrm{\small AAAAAAAAAAAAAAAAAAAA} & 2^{42}3^{13}5^{20}7^{17} \\ \hline
\end{array}
\begin{array}{|r|r|c|}
\hline
\mathrm{MP}&左記の\mathrm{MP}となる最小数(10進法表記) \\ \hline
1 &11 \\ \hline
2 & 28 \\ \hline
3 & 43 \\ \hline
4 & 75 \\ \hline
5 & 317 \\ \hline
6 & 4684 \\ \hline
7 & 38200 \\ \hline
8 & 757074 \\ \hline
9 & 130757439 \\ \hline
10 & 199718348047 \\ \hline
11 & 20622276737754544313 \\ \hline
12 & 562418840358371338270673874568 \\ \hline
13 & 78651871429395862061789067874710687825489797403089215 \\ \hline
\end{array}