9進法の場合の乗法持続係数
N≧9のN進法では\((2\times 4)_{(N)}=8_{(N)}\)、\((4\times 4)_{(N)}=(2\times 8)_{(N)}\)、\((4\times 6)_{(N)}=(3\times 8)_{(N)}\)となります。
\((2\times 4)_{(N)}=8_{(N)}\)なので、\(4\le a_{1},a_{2},\cdots ,a_{i}\lt 8\le a_{i+1},\cdots ,a_{n}\lt \mathrm{\small N}\)とすると、\((24a_{1}a_{2}\cdots a_{n})_{(N)}\)という数と\((a_{1}a_{2}\cdots a_{i}8a_{i+1}\cdots a_{n})_{(N)}\)という数では、各位の数字を掛け合わせると同じ結果になり、\((a_{1}a_{2}\cdots a_{i}8a_{i+1}\cdots a_{n})_{(N)}\lt (24a_{1}a_{2}\cdots a_{n})_{(N)}\)なので、MP≧3となる各MPについての最小数の探索において、各位の数字の中に2と4が含まれる場合は除かれます。
\((4\times 4)_{(N)}=(2\times 8)_{(N)}\)なので、\(4\le a_{1},a_{2},\cdots ,a_{i}\lt 8\le a_{i+1},\cdots ,a_{n}\lt \mathrm{\small N}\)とすると、\((44a_{1}a_{2}\cdots a_{n})_{(N)}\)という数と\((2a_{1}a_{2}\cdots a_{i}8a_{i+1}\cdots a_{n})_{(N)}\)という数では、各位の数字を掛け合わせると同じ結果になり、\((2a_{1}a_{2}\cdots a_{i}8a_{i+1}\cdots a_{n})_{(N)}\lt (44a_{1}a_{2}\cdots a_{n})_{(N)}\)なので、MP≧3となる各MPについての最小数の探索において、各位の数字の中に4が2つ以上含まれる場合は除かれます。
\((4\times 6)_{(N)}=(3\times 8)_{(N)}\)なので、\(6\le a_{1},a_{2},\cdots ,a_{i}\lt 8\le a_{i+1},\cdots ,a_{n}\lt \mathrm{\small N}\)とすると、\((46a_{1}a_{2}\cdots a_{n})_{(N)}\)という数と\((3a_{1}a_{2}\cdots a_{i}8a_{i+1}\cdots a_{n})_{(N)}\)という数では、各位の数字を掛け合わせると同じ結果になり、\((3a_{1}a_{2}\cdots a_{i}8a_{i+1}\cdots a_{n})_{(N)}\lt (46a_{1}a_{2}\cdots a_{n})_{(N)}\)なので、MP≧3となる各MPについての最小数の探索において、各位の数字の中に4と6が含まれる場合は除かれます。
したがって、N≧9のN進法ではMP≧3となる各MPについての最小数の探索から、各位の数字の中に2が2つ以上含まれる場合、2と3が含まれる場合、3と4が含まれる場合、2と4が含まれる場合、4が2つ以上含まれる場合、4と6が含まれる場合が除かれます。
9進法では\(3^{2}_{(9)}=10_{(9)}\)なので、MP≧3のときは、各位の数字の積の素因数分解は、\(2^{i}5^{j}7^{k}\)と\(2^{i}3^{1}5^{j}7^{k}\)の場合に限られます。
各位の数字の積の素因数分解が\(2^{i}5^{j}7^{k}\)となるときのパターンは、各位の数字の中に2が2つ以上含まれる場合、2と4が含まれる場合、4が2つ以上含まれる場合が除かれるので、
\(x\overset{n_{1}}{\overbrace{5\cdots 5}}\overset{n_{2}}{\overbrace{7\cdots 7}}\overset{n_{3}}{\overbrace{8\cdots 8}}_{(9)},\ x=\emptyset,2,4\)というパターンに限られることになります。
各位の数字の積の素因数分解が\(2^{i}3^{1}5^{j}7^{k}\)となるときのパターンは、さらに、各位の数字の中に2と3が含まれる場合、3と4が含まれる場合、4と6が含まれる場合が除かれるので、\(3\overset{n_{1}}{\overbrace{5\cdots 5}}\overset{n_{2}}{\overbrace{7\cdots 7}}\overset{n_{3}}{\overbrace{8\cdots 8}}_{(9)}\)というパターンと
\(x\overset{n_{1}}{\overbrace{5\cdots 5}}6\overset{n_{2}}{\overbrace{7\cdots 7}}\overset{n_{3}}{\overbrace{8\cdots 8}}_{(9)},\ x=\emptyset,2\)というパターンに限られることになります。
これらをまとめると、
\(x\overset{n_{1}}{\overbrace{5\cdots 5}}\overset{n_{2}}{\overbrace{7\cdots 7}}\overset{n_{3}}{\overbrace{8\cdots 8}}_{(9)},\ x=\emptyset,2,3,4\)、
\(x\overset{n_{1}}{\overbrace{5\cdots 5}}6\overset{n_{2}}{\overbrace{7\cdots 7}}\overset{n_{3}}{\overbrace{8\cdots 8}}_{(9)},\ x=\emptyset,2\)
というパターンに限られることになります。なお、n1,n2,n3のいずれかが0となる場合も含みます。
n1+n2+n3≦300で、各MPについての最小数は、9進法表記では以下のような結果になります。
\begin{array}{|r|r|r|c|}
\hline
\mathrm{MP}&左記の\mathrm{MP}となる最小数&&各位の数字の\\ &(9進法表記)&(10進法表記) & 積の素因数分解 \\ \hline
1 & 10 & 9 &- \\ \hline
2 & 25 & 23 & 2^{1}5^{1} \\ \hline
3 & 38 & 35 & 2^{3}3^{2} \\ \hline
4 & 57 & 52 & 5^{1}7^{1} \\ \hline
5 & 477 & 394 & 2^{2}7^{2} \\ \hline
6 & 45788 & 30536 & 2^{8}5^{1}7^{1} \\ \hline
7 & 2577777 & 1409794 & 2^{1}5^{1}7^{5} \\ \hline
\end{array}