13進法の場合の乗法持続係数
N≧13のN進法では、\((2\times 6)_{(N)}=\mathrm{\small C}_{(N)}\)、\((3\times 8)_{(N)}=(2\times \mathrm{\small C})_{(N)}\)、\((4\times 9)_{(N)}=(3\times \mathrm{\small C})_{(N)}\)、\((6\times 8)_{(N)}=(4\times \mathrm{\small C})_{(N)}\)、\((6\times \mathrm{\small A})_{(N)}=(5\times \mathrm{\small C})_{(N)}\)、\((8\times 9)_{(N)}=(6\times \mathrm{\small C})_{(N)}\)、\((5\times 5\times \mathrm{\small C})_{(N)}=(3\times \mathrm{\small A}\times \mathrm{\small A})_{(N)}\)となります。
\((2\times 6)_{(N)}=\mathrm{\small C}_{(N)}\)なので、\(6\le a_{1},a_{2},\cdots ,a_{i}\lt \mathrm{\small C}\le a_{i+1},\cdots ,a_{n}\lt \mathrm{\small N}\)とすると、\((26a_{1}a_{2}\cdots a_{n})_{(N)}\)という数と\((a_{1}a_{2}\cdots a_{i}\mathrm{\small C}a_{i+1}\cdots a_{n})_{(N)}\)という数では、各位の数字を掛け合わせると同じ結果になり、\((a_{1}a_{2}\cdots a_{i}\mathrm{\small C}a_{i+1}\cdots a_{n})_{(N)}\lt (26a_{1}a_{2}\cdots a_{n})_{(N)}\)なので、MP≧3となる各MPについての最小数の探索において、各位の数字の中に2と6が含まれる場合は除かれます。
\((3\times 8)_{(N)}=(2\times \mathrm{\small C})_{(N)}\)なので、\(8\le a_{1},a_{2},\cdots ,a_{i}\lt \mathrm{\small C}\le a_{i+1},\cdots ,a_{n}\lt \mathrm{\small N}\)とすると、\((38a_{1}a_{2}\cdots a_{n})_{(N)}\)という数と\((2a_{1}a_{2}\cdots a_{i}\mathrm{\small C}a_{i+1}\cdots a_{n})_{(N)}\)という数では、各位の数字を掛け合わせると同じ結果になり、\((2a_{1}a_{2}\cdots a_{i}\mathrm{\small C}a_{i+1}\cdots a_{n})_{(N)}\lt (38a_{1}a_{2}\cdots a_{n})_{(N)}\)なので、MP≧3となる各MPについての最小数の探索において、各位の数字の中に3と8が含まれる場合は除かれます。
\((4\times 9)_{(N)}=(3\times \mathrm{\small C})_{(N)}\)なので、\(9\le a_{1},a_{2},\cdots ,a_{i}\lt \mathrm{\small C}\le a_{i+1},\cdots ,a_{n}\lt \mathrm{\small N}\)とすると、\((49a_{1}a_{2}\cdots a_{n})_{(N)}\)という数と\((3a_{1}a_{2}\cdots a_{i}\mathrm{\small C}a_{i+1}\cdots a_{n})_{(N)}\)という数では、各位の数字を掛け合わせると同じ結果になり、\((3a_{1}a_{2}\cdots a_{i}\mathrm{\small C}a_{i+1}\cdots a_{n})_{(N)}\lt (49a_{1}a_{2}\cdots a_{n})_{(N)}\)なので、MP≧3となる各MPについての最小数の探索において、各位の数字の中に4と9が含まれる場合は除かれます。
\((6\times 8)_{(N)}=(4\times \mathrm{\small C})_{(N)}\)なので、\(8\le a_{1},a_{2},\cdots ,a_{i}\lt \mathrm{\small C}\le a_{i+1},\cdots ,a_{n}\lt \mathrm{\small N}\)とすると、\((68a_{1}a_{2}\cdots a_{n})_{(N)}\)という数と\((4a_{1}a_{2}\cdots a_{i}\mathrm{\small C}a_{i+1}\cdots a_{n})_{(N)}\)という数では、各位の数字を掛け合わせると同じ結果になり、\((4a_{1}a_{2}\cdots a_{i}\mathrm{\small C}a_{i+1}\cdots a_{n})_{(N)}\lt (68a_{1}a_{2}\cdots a_{n})_{(N)}\)なので、MP≧3となる各MPについての最小数の探索において、各位の数字の中に6と8が含まれる場合は除かれます。
\((6\times \mathrm{\small A})_{(N)}=(5\times \mathrm{\small C})_{(N)}\)なので、\(\mathrm{\small A}\le a_{1},a_{2},\cdots ,a_{i}\lt \mathrm{\small C}\le a_{i+1},\cdots ,a_{n}\lt \mathrm{\small N}\)とすると、\((6Aa_{1}a_{2}\cdots a_{n})_{(N)}\)という数と\((5a_{1}a_{2}\cdots a_{i}\mathrm{\small C}a_{i+1}\cdots a_{n})_{(N)}\)という数では、各位の数字を掛け合わせると同じ結果になり、\((5a_{1}a_{2}\cdots a_{i}\mathrm{\small C}a_{i+1}\cdots a_{n})_{(N)}\lt (6\mathrm{\small A}a_{1}a_{2}\cdots a_{n})_{(N)}\)なので、MP≧3となる各MPについての最小数の探索において、各位の数字の中に6とAが含まれる場合は除かれます。
\((8\times 9)_{(N)}=(6\times \mathrm{\small C})_{(N)}\)なので、\(9\le a_{1},a_{2},\cdots ,a_{i}\lt \mathrm{\small C}\le a_{i+1},\cdots ,a_{n}\lt \mathrm{\small N}\)とすると、\((89a_{1}a_{2}\cdots a_{n})_{(N)}\)という数と\((6a_{1}a_{2}\cdots a_{i}\mathrm{\small C}a_{i+1}\cdots a_{n})_{(N)}\)という数では、各位の数字を掛け合わせると同じ結果になり、\((6a_{1}a_{2}\cdots a_{i}\mathrm{\small C}a_{i+1}\cdots a_{n})_{(N)}\lt (89a_{1}a_{2}\cdots a_{n})_{(N)}\)なので、MP≧3となる各MPについての最小数の探索において、各位の数字の中に8と9が含まれる場合は除かれます。
\((5\times 5\times \mathrm{\small C})_{(N)}=(3\times \mathrm{\small A}\times \mathrm{\small A})_{(N)}\)なので、\(5\le a_{1},a_{2},\cdots ,a_{i}\lt \mathrm{\small A}\le a_{i+1},\cdots ,a_{j}\lt \mathrm{\small C}\le a_{j+1},\cdots ,a_{n}\lt \mathrm{\small N}\)とすると、\((55a_{1}a_{2}\cdots a_{j}\mathrm{\small C}a_{j+1}\cdots a_{n})_{(N)}\)という数と\((3a_{1}a_{2}\cdots a_{i}\mathrm{\small AA}a_{i+1}\cdots a_{n})_{(N)}\)という数では、各位の数字を掛け合わせると同じ結果になり、\((3a_{1}a_{2}\cdots a_{i}\mathrm{\small AA}a_{i+1}\cdots a_{n})_{(N)}\lt (55a_{1}a_{2}\cdots a_{j}\mathrm{\small C}a_{j+1}\cdots a_{n})_{(N)}\)なので、MP≧3となる各MPについての最小数の探索において、各位の数字の中に5が2つとCが含まれる場合は除かれます。
したがって、N≧13のN進法ではMP≧3となる各MPについての最小数の探索から、各位の数字の中に
2が2つ以上含まれる場合、2と3が含まれる場合、2と4が含まれる場合、2と5が含まれる場合、2と6が含まれる場合、
3が2つ以上含まれる場合、3と4が含まれる場合、3と6が含まれる場合、3と8が含まれる場合、
4が2つ以上含まれる場合、4と5が含まれる場合、4と6が含まれる場合、4と9が含まれる場合、
5と6が含まれる場合、5と8が含まれる場合、
6が2つ以上含まれる場合、6と8が含まれる場合、6とAが含まれる場合、
8と9が含まれる場合、
5が2つ以上とCが含まれる場合が除かれます。(こちらも参照。)
以上をまとめると、2～Cの各数字に続く数字は以下のようになります。
\begin{array}{|r|l|}
\hline
2 & 7,8,9,\mathrm{\small A},\mathrm{\small B},\mathrm{\small C} \\ \hline
3 & 5,7,9,\mathrm{\small A},\mathrm{\small B},\mathrm{\small C} \\ \hline
4 & 7,8,\mathrm{\small A},\mathrm{\small B},\mathrm{\small C} \\ \hline
5 & 5,7,9,\mathrm{\small A},\mathrm{\small B},\mathrm{\small C}^{*} \\ \hline
6 & 7,9,\mathrm{\small B},\mathrm{\small C} \\ \hline
7 & 7,9,\mathrm{\small A},\mathrm{\small B},\mathrm{\small C} \\ \hline
8 & 8,\mathrm{\small A},\mathrm{\small B},\mathrm{\small C} \\ \hline
9 & 9,\mathrm{\small A},\mathrm{\small B},\mathrm{\small C} \\ \hline
\mathrm{\small A} & \mathrm{\small A},\mathrm{\small B},\mathrm{\small C} \\ \hline
\mathrm{\small B} & \mathrm{\small B},\mathrm{\small C} \\ \hline
\mathrm{\small C} & \mathrm{\small C} \\ \hline
\end{array}
(*)5が2つとCが含まれる場合は除く
この結果を用いると、13進法では、MP≧3となる各MPについての最小数は、
\(x\overset{n_{1}}{\overbrace{8\cdots 8}}\overset{n_{2}}{\overbrace{\mathrm{\small A}\cdots \mathrm{\small A}}}\overset{n_{3}}{\overbrace{\mathrm{\small B}\cdots \mathrm{\small B}}}\overset{n_{4}}{\overbrace{\mathrm{\small C}\cdots \mathrm{\small C}}}_{(13)},\ x=\emptyset,2,4\)というパターンと、
\(x\overset{n_{1}}{\overbrace{9\cdots 9}}\overset{n_{2}}{\overbrace{\mathrm{\small A}\cdots \mathrm{\small A}}}\overset{n_{3}}{\overbrace{\mathrm{\small B}\cdots \mathrm{\small B}}}\overset{n_{4}}{\overbrace{\mathrm{\small C}\cdots \mathrm{\small C}}}_{(13)},\ x=\emptyset,2,3\)というパターンと、
\(x\overset{n_{1}}{\overbrace{7\cdots 7}}\overset{n_{2}}{\overbrace{9\cdots 9}}\overset{n_{3}}{\overbrace{\mathrm{\small A}\cdots \mathrm{\small A}}}\overset{n_{4}}{\overbrace{\mathrm{\small B}\cdots \mathrm{\small B}}}\overset{n_{5}}{\overbrace{\mathrm{\small C}\cdots \mathrm{\small C}}}_{(13)},\ x=\emptyset,2,3,4,5,35\)というパターンと、
\(x\overset{n_{1}}{\overbrace{5\cdots 5}}\overset{n_{2}}{\overbrace{7\cdots 7}}\overset{n_{3}}{\overbrace{9\cdots 9}}\overset{n_{4}}{\overbrace{\mathrm{\small A}\cdots \mathrm{\small A}}}\overset{n_{5}}{\overbrace{\mathrm{\small B}\cdots \mathrm{\small B}}}_{(13)},\ x=\emptyset,3\)というパターンと、
\(6\overset{n_{1}}{\overbrace{7\cdots 7}}\overset{n_{2}}{\overbrace{9\cdots 9}}\overset{n_{3}}{\overbrace{\mathrm{\small B}\cdots \mathrm{\small B}}}\overset{n_{4}}{\overbrace{\mathrm{\small C}\cdots \mathrm{\small C}}}_{(13)}\)というパターンに限られることになります。
13進法では、各位の数字の積の素因数分解は、\(2^{i}3^{j}5^{k}7^{l}11^{m}\)で表されますが、各桁について、素因数5,7,11は高々1つまで含まれるので、k+ℓ+mの値は桁数以下となります。
第1のパターンについては、\(\overset{n_{1}}{\overbrace{8\cdots 8}}\overset{n_{2}}{\overbrace{\mathrm{\small A}\cdots \mathrm{\small A}}}\overset{n_{3}}{\overbrace{\mathrm{\small B}\cdots \mathrm{\small B}}}\overset{n_{4}}{\overbrace{\mathrm{\small C}\cdots \mathrm{\small C}}}_{(13)}\)の各位の数字の積の素因数分解は、\(2^{3n_{1}+n_{2}+2n_{4}}3^{n_{4}}5^{n_{2}}11^{n_{3}}\)と表すことができ、n1+n4≦40、n2+n3≦40で探索しました。
第2のパターンについては、\(\overset{n_{1}}{\overbrace{9\cdots 9}}\overset{n_{2}}{\overbrace{\mathrm{\small A}\cdots \mathrm{\small A}}}\overset{n_{3}}{\overbrace{\mathrm{\small B}\cdots \mathrm{\small B}}}\overset{n_{4}}{\overbrace{\mathrm{\small C}\cdots \mathrm{\small C}}}_{(13)}\)の各位の数字の積の素因数分解は、\(2^{n_{2}+2n_{4}}3^{2n_{1}+n_{4}}5^{n_{2}}11^{n_{3}}\)と表すことができ、n1+n4≦40、n2+n3≦40で探索しました。
第3のパターンについては、\(\overset{n_{1}}{\overbrace{7\cdots 7}}\overset{n_{2}}{\overbrace{9\cdots 9}}\overset{n_{3}}{\overbrace{\mathrm{\small A}\cdots \mathrm{\small A}}}\overset{n_{4}}{\overbrace{\mathrm{\small B}\cdots \mathrm{\small B}}}\overset{n_{5}}{\overbrace{\mathrm{\small C}\cdots \mathrm{\small C}}}_{(13)}\)の各位の数字の積の素因数分解は、\(2^{n_{3}+2n_{5}}3^{2n_{2}+n_{5}}5^{n_{3}}7^{n_{1}}11^{n_{4}}\)と表すことができ、n1+n3+n4≦30、n2+n5≦30で探索しました。
第4のパターンについては、\(\overset{n_{1}}{\overbrace{5\cdots 5}}\overset{n_{2}}{\overbrace{7\cdots 7}}\overset{n_{3}}{\overbrace{9\cdots 9}}\overset{n_{4}}{\overbrace{\mathrm{\small A}\cdots \mathrm{\small A}}}\overset{n_{5}}{\overbrace{\mathrm{\small B}\cdots \mathrm{\small B}}}_{(13)}\)の各位の数字の積の素因数分解は、\(2^{n_{4}}3^{2n_{3}}5^{n_{1}+n_{4}}7^{n_{2}}11^{n_{5}}\)と表すことができ、n1+n2+n4+n5≦30、n3≦30で探索しました。
第5のパターンについては、\(\overset{n_{1}}{\overbrace{7\cdots 7}}\overset{n_{2}}{\overbrace{9\cdots 9}}\overset{n_{3}}{\overbrace{\mathrm{\small B}\cdots \mathrm{\small B}}}\overset{n_{4}}{\overbrace{\mathrm{\small C}\cdots \mathrm{\small C}}}_{(13)}\)の各位の数字の積の素因数分解は、\(2^{2n_{4}}3^{2n_{2}+n_{4}}7^{n_{1}}11^{n_{4}}\)と表すことができ、n1+n3≦40、n2+n4≦40で探索しました。
以上の結果をまとめると、各MPについての最小数は、13進法表記では以下のような結果になります。
\begin{array}{|r|r|c|}
\hline
\mathrm{MP}&左記の\mathrm{MP}となる最小数(13進法表記)&各位の数字の積の素因数分解 \\ \hline
1 & 10 & - \\ \hline
2 & 27 & 2^{1}7^{1} \\ \hline
3 & 3\mathrm{\small B} & 3^{1}11^{1} \\ \hline
4 & 5\mathrm{\small A} & 2^{1}5^{2} \\ \hline
5 & 9\mathrm{\small A} & 2^{1}3^{2}5^{1} \\ \hline
6 & 27\mathrm{\small A} & 2^{2}5^{1}7^{1} \\ \hline
7 & 8\mathrm{\small AC} & 2^{6}3^{1}5^{1} \\ \hline
8 & 35\mathrm{\small AB} & 2^{1}3^{1}5^{2}11^{1} \\ \hline
9 & 9\mathrm{\small BBB} & 3^{2}11^{3} \\ \hline
10 & 2999\mathrm{\small BBC} & 2^{3}3^{7}11^{2} \\ \hline
11 & 28\mathrm{\small CCCCCC} & 2^{16}3^{6} \\ \hline
12 & 377\mathrm{\small AAAABCCC} & 2^{10}3^{4}5^{4}7^{2}11^{1} \\ \hline
13 & 9999\mathrm{\small AACCCCCCCCC} & 2^{20}3^{17}5^{2} \\ \hline
14 & 7777779\mathrm{\small AAAAAAAAABCCCCCC} & 2^{21}3^{8}5^{9}7^{6}11^{1} \\ \hline
15 & 777999999999999999999999\mathrm{\small AAAAAAAACCCCC} & 2^{18}3^{47}5^{8}7^{3} \\ \hline
\end{array}
\begin{array}{|r|r|c|}
\hline
\mathrm{MP}&左記の\mathrm{MP}となる最小数(10進法表記) \\ \hline
1 & 13 \\ \hline
2 & 33 \\ \hline
3 & 50 \\ \hline
4 & 75 \\ \hline
5 & 127 \\ \hline
6 & 439 \\ \hline
7 & 1494 \\ \hline
8 & 7577 \\ \hline
9 & 21786 \\ \hline
10 & 13274091 \\ \hline
11 & 168938314 \\ \hline
12 & 494196864368 \\ \hline
13 & 38389570874684132 \\ \hline
14 & 24356446321678355215229300 \\ \hline
15 & 95912962307468180493712530377442827510678 \\ \hline
\end{array}