15進法の場合の乗法持続係数
N≧15のN進法では\((2\times 7)_{(N)}=\mathrm{\small E}_{(N)}\)、\((4\times 7)_{(N)}=(2\times \mathrm{\small E})_{(N)}\)、\((6\times 7)_{(N)}=(3\times \mathrm{\small E})_{(N)}\)、\((7\times 8)_{(N)}=(4\times \mathrm{\small E})_{(N)}\)、\((7\times \mathrm{\small A})_{(N)}=(5\times \mathrm{\small E})_{(N)}\)、\((7\times \mathrm{\small C})_{(N)}=(6\times \mathrm{\small E})_{(N)}\)となります。
\((2\times 7)_{(N)}=\mathrm{\small E}_{(N)}\)なので、\(6\le a_{1},a_{2},\cdots ,a_{i}\lt \mathrm{\small E}\le a_{i+1},\cdots ,a_{n}\lt \mathrm{\small N}\)とすると、\((27a_{1}a_{2}\cdots a_{n})_{(N)}\)という数と\((a_{1}a_{2}\cdots a_{i}\mathrm{\small E}a_{i+1}\cdots a_{n})_{(N)}\)という数では、各位の数字を掛け合わせると同じ結果になり、\((a_{1}a_{2}\cdots a_{i}\mathrm{\small E}a_{i+1}\cdots a_{n})_{(N)}\lt (27a_{1}a_{2}\cdots a_{n})_{(N)}\)なので、MP≧3となる各MPについての最小数の探索において、各位の数字の中に2と7が含まれる場合は除かれます。
\((4\times 7)_{(N)}=(2\times \mathrm{\small E})_{(N)}\)なので、\(7\le a_{1},a_{2},\cdots ,a_{i}\lt \mathrm{\small C}\le a_{i+1},\cdots ,a_{n}\lt \mathrm{\small N}\)とすると、\((47a_{1}a_{2}\cdots a_{n})_{(N)}\)という数と\((2a_{1}a_{2}\cdots a_{i}\mathrm{\small E}a_{i+1}\cdots a_{n})_{(N)}\)という数では、各位の数字を掛け合わせると同じ結果になり、\((2a_{1}a_{2}\cdots a_{i}\mathrm{\small E}a_{i+1}\cdots a_{n})_{(N)}\lt (47a_{1}a_{2}\cdots a_{n})_{(N)}\)なので、MP≧3となる各MPについての最小数の探索において、各位の数字の中に4と7が含まれる場合は除かれます。
\((6\times 7)_{(N)}=(3\times \mathrm{\small E})_{(N)}\)なので、\(7\le a_{1},a_{2},\cdots ,a_{i}\lt \mathrm{\small E}\le a_{i+1},\cdots ,a_{n}\lt \mathrm{\small N}\)とすると、\((67a_{1}a_{2}\cdots a_{n})_{(N)}\)という数と\((3a_{1}a_{2}\cdots a_{i}\mathrm{\small E}a_{i+1}\cdots a_{n})_{(N)}\)という数では、各位の数字を掛け合わせると同じ結果になり、\((3a_{1}a_{2}\cdots a_{i}\mathrm{\small E}a_{i+1}\cdots a_{n})_{(N)}\lt (67a_{1}a_{2}\cdots a_{n})_{(N)}\)なので、MP≧3となる各MPについての最小数の探索において、各位の数字の中に6と7が含まれる場合は除かれます。
\((7\times 8)_{(N)}=(4\times \mathrm{\small E})_{(N)}\)なので、\(8\le a_{1},a_{2},\cdots ,a_{i}\lt \mathrm{\small E}\le a_{i+1},\cdots ,a_{n}\lt \mathrm{\small N}\)とすると、\((78a_{1}a_{2}\cdots a_{n})_{(N)}\)という数と\((4a_{1}a_{2}\cdots a_{i}\mathrm{\small E}a_{i+1}\cdots a_{n})_{(N)}\)という数では、各位の数字を掛け合わせると同じ結果になり、\((4a_{1}a_{2}\cdots a_{i}\mathrm{\small E}a_{i+1}\cdots a_{n})_{(N)}\lt (78a_{1}a_{2}\cdots a_{n})_{(N)}\)なので、MP≧3となる各MPについての最小数の探索において、各位の数字の中に7と8が含まれる場合は除かれます。
\((7\times \mathrm{\small A})_{(N)}=(5\times \mathrm{\small E})_{(N)}\)なので、\(\mathrm{\small A}\le a_{1},a_{2},\cdots ,a_{i}\lt \mathrm{\small E}\le a_{i+1},\cdots ,a_{n}\lt \mathrm{\small N}\)とすると、\((7\mathrm{\small A}a_{1}a_{2}\cdots a_{n})_{(N)}\)という数と\((5a_{1}a_{2}\cdots a_{i}\mathrm{\small E}a_{i+1}\cdots a_{n})_{(N)}\)という数では、各位の数字を掛け合わせると同じ結果になり、\((5a_{1}a_{2}\cdots a_{i}\mathrm{\small E}a_{i+1}\cdots a_{n})_{(N)}\lt (7\mathrm{\small A}a_{1}a_{2}\cdots a_{n})_{(N)}\)なので、MP≧3となる各MPについての最小数の探索において、各位の数字の中に7とAが含まれる場合は除かれます。
\((7\times \mathrm{\small C})_{(N)}=(6\times \mathrm{\small E})_{(N)}\)なので、\(\mathrm{\small C}\le a_{1},a_{2},\cdots ,a_{i}\lt \mathrm{\small E}\le a_{i+1},\cdots ,a_{n}\lt \mathrm{\small N}\)とすると、\((7\mathrm{\small C}a_{1}a_{2}\cdots a_{n})_{(N)}\)という数と\((6a_{1}a_{2}\cdots a_{i}\mathrm{\small E}a_{i+1}\cdots a_{n})_{(N)}\)という数では、各位の数字を掛け合わせると同じ結果になり、\((6a_{1}a_{2}\cdots a_{i}\mathrm{\small E}a_{i+1}\cdots a_{n})_{(N)}\lt (7\mathrm{\small C}a_{1}a_{2}\cdots a_{n})_{(N)}\)なので、MP≧3となる各MPについての最小数の探索において、各位の数字の中に7とCが含まれる場合は除かれます。
したがって、N≧15のN進法ではMP≧3となる各MPについての最小数の探索から、各位の数字の中に
2が2つ以上含まれる場合、2と3が含まれる場合、2と4が含まれる場合、2と5が含まれる場合、2と6が含まれる場合、2と7が含まれる場合、
3が2つ以上含まれる場合、3と4が含まれる場合、3と6が含まれる場合、3と8が含まれる場合、
4が2つ以上含まれる場合、4と5が含まれる場合、4と6が含まれる場合、4と7が含まれる場合、4と9が含まれる場合、
5と6が含まれる場合、5と8が含まれる場合、
6が2つ以上含まれる場合、6と7が含まれる場合、6と8が含まれる場合、6とAが含まれる場合、
7と8が含まれる場合、7とAが含まれる場合、7とCが含まれる場合、
8と9が含まれる場合が除かれます。
15進法では\(3\times 5_{(15)}=10_{(15)}\)なので、MP≧3のときは、各位の数字の積の素因数分解は、\(2^{i}3^{j}7^{k}11^{l}13^{m}\)、\(2^{i}5^{j}7^{k}11^{l}13^{m}\)の場合に限られ、各位の数字の中に3の倍数と5が含まれる場合は除かれます。
各位の数字の積の素因数分解が\(2^{i}3^{j}7^{k}11^{l}13^{m}\)となるときのパターンからは、各位の数字の中に
2が2つ以上含まれる場合、2と3が含まれる場合、2と4が含まれる場合、2と6が含まれる場合、2と7が含まれる場合、
3が2つ以上含まれる場合、3と4が含まれる場合、3と6が含まれる場合、3と8が含まれる場合、
4が2つ以上含まれる場合、4と6が含まれる場合、4と7が含まれる場合、4と9が含まれる場合、
6が2つ以上含まれる場合、6と7が含まれる場合、6と8が含まれる場合、
7と8が含まれる場合、7とCが含まれる場合、
8と9が含まれる場合が除かれます。(こちらも参照。)
以上をまとめると、2～4,6～9,B～Dの各数字に続く数字は以下のようになります。
\begin{array}{|r|l|}
\hline
2 & 8,9,\mathrm{\small B},\mathrm{\small C},\mathrm{\small D},\mathrm{\small E} \\ \hline
3 & 7,9,\mathrm{\small B},\mathrm{\small C},\mathrm{\small D},\mathrm{\small E} \\ \hline
4 & 8,\mathrm{\small B},\mathrm{\small C},\mathrm{\small D},\mathrm{\small E} \\ \hline
6 & 9,\mathrm{\small B},\mathrm{\small C},\mathrm{\small D},\mathrm{\small E} \\ \hline
7 & 7,9,\mathrm{\small B},\mathrm{\small D},\mathrm{\small E} \\ \hline
8 & 8,\mathrm{\small B},\mathrm{\small C},\mathrm{\small D},\mathrm{\small E} \\ \hline
9 & 9,\mathrm{\small B},\mathrm{\small C},\mathrm{\small D},\mathrm{\small E} \\ \hline
\mathrm{\small B} & \mathrm{\small B},\mathrm{\small C},\mathrm{\small D},\mathrm{\small E} \\ \hline
\mathrm{\small C} & \mathrm{\small C},\mathrm{\small D},\mathrm{\small E} \\ \hline
\mathrm{\small D} & \mathrm{\small D},\mathrm{\small E} \\ \hline
\mathrm{\small E} & \mathrm{\small E} \\ \hline
\end{array}
この結果を用いると、15進法では、MP≧3となる各MPについての最小数は、各位の数字の積の素因数分解が\(2^{i}3^{j}7^{k}11^{l}13^{m}\)となる場合については、
\(x\overset{n_{1}}{\overbrace{8\cdots 8}}\overset{n_{2}}{\overbrace{\mathrm{\small B}\cdots \mathrm{\small B}}}\overset{n_{3}}{\overbrace{\mathrm{\small C}\cdots \mathrm{\small C}}}\overset{n_{4}}{\overbrace{\mathrm{\small D}\cdots \mathrm{\small D}}}\overset{n_{5}}{\overbrace{\mathrm{\small E}\cdots \mathrm{\small E}}}_{(15)},\ x=\emptyset,2,4\)というパターンと、
\(x\overset{n_{1}}{\overbrace{9\cdots 9}}\overset{n_{2}}{\overbrace{\mathrm{\small B}\cdots \mathrm{\small B}}}\overset{n_{3}}{\overbrace{\mathrm{\small C}\cdots \mathrm{\small C}}}\overset{n_{4}}{\overbrace{\mathrm{\small D}\cdots \mathrm{\small D}}}\overset{n_{5}}{\overbrace{\mathrm{\small E}\cdots \mathrm{\small E}}}_{(15)},\ x=\emptyset,2,3,6\)というパターンと、
\(x\overset{n_{1}}{\overbrace{7\cdots 7}}\overset{n_{2}}{\overbrace{9\cdots 9}}\overset{n_{3}}{\overbrace{\mathrm{\small B}\cdots \mathrm{\small B}}}\overset{n_{4}}{\overbrace{\mathrm{\small D}\cdots \mathrm{\small D}}}\overset{n_{5}}{\overbrace{\mathrm{\small E}\cdots \mathrm{\small E}}}_{(15)},\ x=\emptyset,3\)というパターンに限られることになります。
15進法で各位の数字の積の素因数分解が\(2^{i}3^{j}7^{k}11^{l}13^{m}\)となる場合は、各桁について、素因数7,11,13は高々1つまで含まれるので、k+ℓ+mの値は桁数以下となります。
第1のパターンについては、\(\overset{n_{1}}{\overbrace{8\cdots 8}}\overset{n_{2}}{\overbrace{\mathrm{\small B}\cdots \mathrm{\small B}}}\overset{n_{3}}{\overbrace{\mathrm{\small C}\cdots \mathrm{\small C}}}\overset{n_{4}}{\overbrace{\mathrm{\small D}\cdots \mathrm{\small D}}}\overset{n_{5}}{\overbrace{\mathrm{\small E}\cdots \mathrm{\small E}}}_{(15)}\)の各位の数字の積の素因数分解は、\(2^{3n_{1}+2n_{3}+n_{5}}3^{n_{3}}7^{n_{5}}11^{n_{2}}13^{n_{4}}\)と表すことができ、n2+n4+n5≦30、n1+n3≦30で探索しました。
第2のパターンについては、\(\overset{n_{1}}{\overbrace{9\cdots 9}}\overset{n_{2}}{\overbrace{\mathrm{\small B}\cdots \mathrm{\small B}}}\overset{n_{3}}{\overbrace{\mathrm{\small C}\cdots \mathrm{\small C}}}\overset{n_{4}}{\overbrace{\mathrm{\small D}\cdots \mathrm{\small D}}}\overset{n_{5}}{\overbrace{\mathrm{\small E}\cdots \mathrm{\small E}}}_{(15)}\)の各位の数字の積の素因数分解は、\(2^{2n_{4}+n_{5}}3^{2n_{1}+n_{4}}7^{n_{5}}11^{n_{2}}13^{n_{4}}\)と表すことができ、n2+n4+n5≦30、n1+n3≦30で探索しました。
第3のパターンについては、\(\overset{n_{1}}{\overbrace{7\cdots 7}}\overset{n_{2}}{\overbrace{9\cdots 9}}\overset{n_{3}}{\overbrace{\mathrm{\small B}\cdots \mathrm{\small B}}}\overset{n_{4}}{\overbrace{\mathrm{\small D}\cdots \mathrm{\small D}}}\overset{n_{5}}{\overbrace{\mathrm{\small E}\cdots \mathrm{\small E}}}_{(15)}\)の各位の数字の積の素因数分解は、\(2^{n_{5}}3^{2n_{2}}7^{n_{1}+n_{5}}11^{n_{3}}13^{n_{4}}\)と表すことができ、n1+n3+n4+n5≦30、n2≦30で探索しました。
各位の数字の積の素因数分解が\(2^{i}5^{j}7^{k}11^{l}13^{m}\)となるときのパターンからは、各位の数字の中に
2が2つ以上含まれる場合、2と4が含まれる場合、2と5が含まれる場合、2と7が含まれる場合、
4が2つ以上含まれる場合、4と5が含まれる場合、4と7が含まれる場合、
5と8が含まれる場合、
7と8が含まれる場合、7とAが含まれる場合が除かれます。(こちらも参照。)
以上をまとめると、2,4,5,7,8,A,B,D,Eの各数字に続く数字は以下のようになります。
\begin{array}{|r|l|}
\hline
2 & 8,\mathrm{\small A},\mathrm{\small B},\mathrm{\small D},\mathrm{\small E} \\ \hline
4 & 8,\mathrm{\small A},\mathrm{\small B},\mathrm{\small D},\mathrm{\small E} \\ \hline
5 & 5,7,\mathrm{\small A},\mathrm{\small B},\mathrm{\small D},\mathrm{\small E} \\ \hline
7 & 7,\mathrm{\small B},\mathrm{\small D},\mathrm{\small E} \\ \hline
8 & 8,\mathrm{\small A},\mathrm{\small B},\mathrm{\small D},\mathrm{\small E} \\ \hline
\mathrm{\small A} & \mathrm{\small A},\mathrm{\small B},\mathrm{\small D},\mathrm{\small E} \\ \hline
\mathrm{\small B} & \mathrm{\small B},\mathrm{\small D},\mathrm{\small E} \\ \hline
\mathrm{\small D} & \mathrm{\small D},\mathrm{\small E} \\ \hline
\mathrm{\small E} & \mathrm{\small E} \\ \hline
\end{array}
この結果を用いると、15進法では、MP≧3となる各MPについての最小数は、各位の数字の積の素因数分解が\(2^{i}5^{j}7^{k}11^{l}13^{m}\)となる場合については、
\(x\overset{n_{1}}{\overbrace{8\cdots 8}}\overset{n_{2}}{\overbrace{\mathrm{\small A}\cdots \mathrm{\small A}}}\overset{n_{3}}{\overbrace{\mathrm{\small B}\cdots \mathrm{\small B}}}\overset{n_{4}}{\overbrace{\mathrm{\small D}\cdots \mathrm{\small D}}}\overset{n_{5}}{\overbrace{\mathrm{\small E}\cdots \mathrm{\small E}}}_{(15)},\ x=\emptyset,2,4\)というパターンと、
\(\overset{n_{1}}{\overbrace{5\cdots 5}}\overset{n_{2}}{\overbrace{7\cdots 7}}\overset{n_{3}}{\overbrace{\mathrm{\small B}\cdots \mathrm{\small B}}}\overset{n_{4}}{\overbrace{\mathrm{\small D}\cdots \mathrm{\small D}}}\overset{n_{5}}{\overbrace{\mathrm{\small E}\cdots \mathrm{\small E}}}_{(15)}\)というパターンと、
\(\overset{n_{1}}{\overbrace{5\cdots 5}}\overset{n_{2}}{\overbrace{\mathrm{\small A}\cdots \mathrm{\small A}}}\overset{n_{3}}{\overbrace{\mathrm{\small B}\cdots \mathrm{\small B}}}\overset{n_{4}}{\overbrace{\mathrm{\small D}\cdots \mathrm{\small D}}}\overset{n_{5}}{\overbrace{\mathrm{\small E}\cdots \mathrm{\small E}}}_{(15)}\)というパターンに限られることになります。
15進法で各位の数字の積の素因数分解が\(2^{i}5^{j}7^{k}11^{l}13^{m}\)となる場合は、各桁について、素因数5,7,11,13は高々1つまで含まれるので、j+k+ℓ+mの値は桁数以下となります。
第1のパターンについては、\(\overset{n_{1}}{\overbrace{8\cdots 8}}\overset{n_{2}}{\overbrace{\mathrm{\small A}\cdots \mathrm{\small A}}}\overset{n_{3}}{\overbrace{\mathrm{\small B}\cdots \mathrm{\small B}}}\overset{n_{4}}{\overbrace{\mathrm{\small D}\cdots \mathrm{\small D}}}\overset{n_{5}}{\overbrace{\mathrm{\small E}\cdots \mathrm{\small E}}}_{(15)}\)の各位の数字の積の素因数分解は、\(2^{3n_{1}+n_{2}+n_{5}}5^{n_{2}}7^{n_{5}}11^{n_{3}}13^{n_{4}}\)と表すことができ、n2+n3+n4+n5≦30、n1≦30で探索しました。
第2のパターンについては、\(\overset{n_{1}}{\overbrace{5\cdots 5}}\overset{n_{2}}{\overbrace{7\cdots 7}}\overset{n_{3}}{\overbrace{\mathrm{\small B}\cdots \mathrm{\small B}}}\overset{n_{4}}{\overbrace{\mathrm{\small D}\cdots \mathrm{\small D}}}\overset{n_{5}}{\overbrace{\mathrm{\small E}\cdots \mathrm{\small E}}}_{(15)}\)の各位の数字の積の素因数分解は、\(2^{n_{5}}5^{n_{1}}7^{n_{2}+n_{5}}11^{n_{3}}13^{n_{4}}\)と表すことができ、n1+n2+n3+n4+n5≦40で探索しました。
第3のパターンについては、\(\overset{n_{1}}{\overbrace{5\cdots 5}}\overset{n_{2}}{\overbrace{\mathrm{\small A}\cdots \mathrm{\small A}}}\overset{n_{3}}{\overbrace{\mathrm{\small B}\cdots \mathrm{\small B}}}\overset{n_{4}}{\overbrace{\mathrm{\small D}\cdots \mathrm{\small D}}}\overset{n_{5}}{\overbrace{\mathrm{\small E}\cdots \mathrm{\small E}}}_{(15)}\)の各位の数字の積の素因数分解は、\(2^{n_{2}+n_{5}}5^{n_{1}+n_{2}}7^{n_{1}+n_{5}}11^{n_{3}}13^{n_{4}}\)と表すことができ、n1+n2+n3+n4+n5≦40で探索しました。
\begin{array}{|r|r|r|c|}
\hline
\mathrm{MP}&左記の\mathrm{MP}となる最小数&&各位の数字の\\ &(15進法表記)&(10進法表記) & 積の素因数分解 \\ \hline
1 & 10 & 15 & - \\ \hline
2 & 28 & 38 & 2^{4} \\ \hline
3 & 3\mathrm{\small D} & 58 & 3^{1}13^{1} \\ \hline
4 & 5\mathrm{\small E} & 89 & 2^{1}5^{1}7^{1} \\ \hline
5 & 28\mathrm{\small C} & 582 & 2^{6}3^{1} \\ \hline
6 & 8\mathrm{\small AE} & 1964 & 2^{5}5^{1}7^{1} \\ \hline
7 & 5\mathrm{\small BBB} & 19526 & 5^{1}11^{3} \\ \hline
8 & \mathrm{\small BBBCC} & 596667 & 2^{4}3^{2}11^{3} \\ \hline
9 & 2999\mathrm{\small BDE} & 30104309 & 2^{2}3^{6}7^{1}11^{1}13^{1} \\ \hline
10 & 39\mathrm{\small BBCCCCCD} & 140410607143 & 2^{10}3^{8}11^{2}13^{1} \\ \hline
11 & 2\mathrm{\small BBBBCCCCDDDDDDE} & 1219847883912873884 & 2^{10}3^{4}7^{1}11^{4}13^{6} \\ \hline
\end{array}