16進法の場合の乗法持続係数
N≧16のN進法では\((3\times 5)_{(N)}=\mathrm{\small F}_{(N)}\)、\((5\times 6)_{(N)}=(2\times \mathrm{\small F})_{(N)}\)、\((5\times 9)_{(N)}=(3\times \mathrm{\small F})_{(N)}\)、\((5\times \mathrm{\small C})_{(N)}=(4\times \mathrm{\small F})_{(N)}\)、\((9\times \mathrm{\small A})_{(N)}=(6\times \mathrm{\small F})_{(N)}\)、\((\mathrm{\small A}\times \mathrm{\small C})_{(N)}=(8\times \mathrm{\small F})_{(N)}\)となります。
\((3\times 5)_{(N)}=\mathrm{\small F}_{(N)}\)なので、\(5\le a_{1},a_{2},\cdots ,a_{i}\lt \mathrm{\small F}\le a_{i+1},\cdots ,a_{n}\lt \mathrm{\small N}\)とすると、\((35a_{1}a_{2}\cdots a_{n})_{(N)}\)という数と\((a_{1}a_{2}\cdots a_{i}\mathrm{\small F}a_{i+1}\cdots a_{n})_{(N)}\)という数では、各位の数字を掛け合わせると同じ結果になり、\((a_{1}a_{2}\cdots a_{i}\mathrm{\small F}a_{i+1}\cdots a_{n})_{(N)}\lt (35a_{1}a_{2}\cdots a_{n})_{(N)}\)なので、MP≧3となる各MPについての最小数の探索において、各位の数字の中に3と5が含まれる場合は除かれます。
\((5\times 6)_{(N)}=(2\times \mathrm{\small F})_{(N)}\)なので、\(6\le a_{1},a_{2},\cdots ,a_{i}\lt \mathrm{\small F}\le a_{i+1},\cdots ,a_{n}\lt \mathrm{\small N}\)とすると、\((56a_{1}a_{2}\cdots a_{n})_{(N)}\)という数と\((2a_{1}a_{2}\cdots a_{i}\mathrm{\small F}a_{i+1}\cdots a_{n})_{(N)}\)という数では、各位の数字を掛け合わせると同じ結果になり、\((2a_{1}a_{2}\cdots a_{i}\mathrm{\small F}a_{i+1}\cdots a_{n})_{(N)}\lt (56a_{1}a_{2}\cdots a_{n})_{(N)}\)なので、MP≧3となる各MPについての最小数の探索において、各位の数字の中に5と6が含まれる場合は除かれます。
\((5\times 9)_{(N)}=(3\times \mathrm{\small F})_{(N)}\)なので、\(9\le a_{1},a_{2},\cdots ,a_{i}\lt \mathrm{\small F}\le a_{i+1},\cdots ,a_{n}\lt \mathrm{\small N}\)とすると、\((59a_{1}a_{2}\cdots a_{n})_{(N)}\)という数と\((3a_{1}a_{2}\cdots a_{i}\mathrm{\small F}a_{i+1}\cdots a_{n})_{(N)}\)という数では、各位の数字を掛け合わせると同じ結果になり、\((3a_{1}a_{2}\cdots a_{i}\mathrm{\small F}a_{i+1}\cdots a_{n})_{(N)}\lt (59a_{1}a_{2}\cdots a_{n})_{(N)}\)なので、MP≧3となる各MPについての最小数の探索において、各位の数字の中に5と9が含まれる場合は除かれます。
\((5\times \mathrm{\small C})_{(N)}=(4\times \mathrm{\small F})_{(N)}\)なので、\(\mathrm{\small C}\le a_{1},a_{2},\cdots ,a_{i}\lt \mathrm{\small F}\le a_{i+1},\cdots ,a_{n}\lt \mathrm{\small N}\)とすると、\((5\mathrm{\small C}a_{1}a_{2}\cdots a_{n})_{(N)}\)という数と\((4a_{1}a_{2}\cdots a_{i}\mathrm{\small F}a_{i+1}\cdots a_{n})_{(N)}\)という数では、各位の数字を掛け合わせると同じ結果になり、\((4a_{1}a_{2}\cdots a_{i}\mathrm{\small F}a_{i+1}\cdots a_{n})_{(N)}\lt (5\mathrm{\small C}a_{1}a_{2}\cdots a_{n})_{(N)}\)なので、MP≧3となる各MPについての最小数の探索において、各位の数字の中に5とCが含まれる場合は除かれます。
\((9\times \mathrm{\small A})_{(N)}=(6\times \mathrm{\small F})_{(N)}\)なので、\(\mathrm{\small A}\le a_{1},a_{2},\cdots ,a_{i}\lt \mathrm{\small F}\le a_{i+1},\cdots ,a_{n}\lt \mathrm{\small N}\)とすると、\((9\mathrm{\small A}a_{1}a_{2}\cdots a_{n})_{(N)}\)という数と\((6a_{1}a_{2}\cdots a_{i}\mathrm{\small F}a_{i+1}\cdots a_{n})_{(N)}\)という数では、各位の数字を掛け合わせると同じ結果になり、\((6a_{1}a_{2}\cdots a_{i}\mathrm{\small F}a_{i+1}\cdots a_{n})_{(N)}\lt (9\mathrm{\small A}a_{1}a_{2}\cdots a_{n})_{(N)}\)なので、MP≧3となる各MPについての最小数の探索において、各位の数字の中に9とAが含まれる場合は除かれます。
\((\mathrm{\small A}\times \mathrm{\small C})_{(N)}=(8\times \mathrm{\small F})_{(N)}\)なので、\(\mathrm{\small C}\le a_{1},a_{2},\cdots ,a_{i}\lt \mathrm{\small F}\le a_{i+1},\cdots ,a_{n}\lt \mathrm{\small N}\)とすると、\((\mathrm{\small AC}a_{1}a_{2}\cdots a_{n})_{(N)}\)という数と\((8a_{1}a_{2}\cdots a_{i}\mathrm{\small F}a_{i+1}\cdots a_{n})_{(N)}\)という数では、各位の数字を掛け合わせると同じ結果になり、\((8a_{1}a_{2}\cdots a_{i}\mathrm{\small F}a_{i+1}\cdots a_{n})_{(N)}\lt (\mathrm{\small AC}a_{1}a_{2}\cdots a_{n})_{(N)}\)なので、MP≧3となる各MPについての最小数の探索において、各位の数字の中にAとCが含まれる場合は除かれます。
したがって、N≧16のN進法ではMP≧3となる各MPについての最小数の探索から、各位の数字の中に
2が2つ以上含まれる場合、2と3が含まれる場合、2と4が含まれる場合、2と5が含まれる場合、2と6が含まれる場合、2と7が含まれる場合、
3が2つ以上含まれる場合、3と4が含まれる場合、3と5が含まれる場合、3と6が含まれる場合、3と8が含まれる場合、
4が2つ以上含まれる場合、4と5が含まれる場合、4と6が含まれる場合、4と7が含まれる場合、4と9が含まれる場合、
5と6が含まれる場合、5と8が含まれる場合、5と9が含まれる場合、5とCが含まれる場合、
6が2つ以上含まれる場合、6と7が含まれる場合、6と8が含まれる場合、6とAが含まれる場合、
7と8が含まれる場合、7とAが含まれる場合、7とCが含まれる場合、
8と9が含まれる場合、
9とAが含まれる場合、
AとCが含まれる場合が除かれます。(こちらも参照。)
16進法では\( 2^{4}_{(16)}=10_{(16)}\)なので、MP≧3のときは、各位の数字の積の素因数分解は、\(2^{h}3^{i}5^{j}7^{k}11^{l}13^{m},\ h=0,1,2,3\)の場合に限られます。
各位の数字の積の素因数分解が\(3^{i}5^{j}7^{k}11^{l}13^{m}\)となる場合については、各位の数字の中に3が2つ以上含まれる場合、3と5が含まれる場合、5と9が含まれる場合が除かれ、
i＜jの場合は、\(\overset{j-i}{\overbrace{5\cdots 5}}\overset{k}{\overbrace{7\cdots 7}}\overset{l}{\overbrace{\mathrm{\small B}\cdots \mathrm{\small B}}}\overset{m}{\overbrace{\mathrm{\small D}\cdots \mathrm{\small D}}}\overset{i}{\overbrace{\mathrm{\small F}\cdots \mathrm{\small F}}}_{(16)}\)というパターンで表され、
i＞jの場合は、i-j=2q+r(r=0,1)として、
r=0、q＞0ならば、\(\overset{k}{\overbrace{7\cdots 7}}\overset{q}{\overbrace{9\cdots 9}}\overset{l}{\overbrace{\mathrm{\small B}\cdots \mathrm{\small B}}}\overset{m}{\overbrace{\mathrm{\small D}\cdots \mathrm{\small D}}}\overset{j}{\overbrace{\mathrm{\small F}\cdots \mathrm{\small F}}}_{(16)}\)というパターンで表され、
r=1ならば、\(3\overset{k}{\overbrace{7\cdots 7}}\overset{q}{\overbrace{9\cdots 9}}\overset{l}{\overbrace{\mathrm{\small B}\cdots \mathrm{\small B}}}\overset{m}{\overbrace{\mathrm{\small D}\cdots \mathrm{\small D}}}\overset{j}{\overbrace{\mathrm{\small F}\cdots \mathrm{\small F}}}_{(16)}\)というパターンで表され、
i=jの場合は、\(\overset{k}{\overbrace{7\cdots 7}}\overset{l}{\overbrace{\mathrm{\small B}\cdots \mathrm{\small B}}}\overset{m}{\overbrace{\mathrm{\small D}\cdots \mathrm{\small D}}}\overset{i}{\overbrace{\mathrm{\small F}\cdots \mathrm{\small F}}}_{(16)}\)というパターンで表されます。
各位の数字の積の素因数分解が\(2^{h}3^{i}5^{j}7^{k}11^{l}13^{m},\ h=1,2,3\)となる場合については、さらに、各位の数字の中に
2が2つ以上含まれる場合、2と3が含まれる場合、2と4が含まれる場合、2と5が含まれる場合、2と6が含まれる場合、2と7が含まれる場合、
3と4が含まれる場合、3と8が含まれる場合、
4と5が含まれる場合、4と6が含まれる場合、4と7が含まれる場合、4と9が含まれる場合、4とAが含まれる場合、4とEが含まれる場合、
5と6が含まれる場合、5と8が含まれる場合、5とCが含まれる場合、
6と7が含まれる場合、6とAが含まれる場合、
7と8が含まれる場合、7とAが含まれる場合、7とCが含まれる場合、
8と9が含まれる場合、
9とAが含まれる場合、
AとCが含まれる場合が除かれることになります。
以上を考慮して、各位の数字の積の素因数分解を\(2^{h}3^{i}5^{j}7^{k}11^{l}13^{m}\)として、i+j+k+ℓ+m≦40,h=0,1,2,3で探索したところ、各MPについての最小数は、16進法表記では以下のような結果になります。
\begin{array}{|r|r|r|c|}
\hline
\mathrm{MP}&左記の\mathrm{MP}となる最小数&&各位の数字の\\ &(16進法表記)&(10進法表記) & 積の素因数分解 \\ \hline
1 & 10 & 16 & - \\ \hline
2 & 28 & 40 & 2^{4} \\ \hline
3 & 3\mathrm{\small E} & 62 & 2^{1}3^{1}7^{1} \\ \hline
4 & 5\mathrm{\small F} & 95 & 3^{1}5^{2} \\ \hline
5 & \mathrm{\small BB} & 187 & 11^{2} \\ \hline
6 & 2\mathrm{\small AB} & 683 & 2^{2}5^{1}11^{1} \\ \hline
7 & 3\mathrm{\small DDE} & 15838 & 2^{1}3^{1}7^{1}13^{2} \\ \hline
8 & 379\mathrm{\small BDD} & 3644381 & 3^{3}7^{1}11^{1}13^{2} \\ \hline
\end{array}