7進法の場合の乗法持続係数
N≧7のN進法では\((2\times 3)_{(N)}=6_{(N)}\)、\((3\times 4)_{(N)}=(2\times 6)_{(N)}\)となります。
\((2\times 3)_{(N)}=6_{(N)}\)なので、\(3\le a_{1},a_{2},\cdots ,a_{i}\lt 6\le a_{i+1},\cdots ,a_{n}\lt \mathrm{\small N}\)とすると、\((23a_{1}a_{2}\cdots a_{n})_{(N)}\)という数と\((a_{1}a_{2}\cdots a_{i}6a_{i+1}\cdots a_{n})_{(N)}\)という数では、各位の数字を掛け合わせると同じ結果になり、\((a_{1}a_{2}\cdots a_{i}6a_{i+1}\cdots a_{n})_{(N)}\lt (23a_{1}a_{2}\cdots a_{n})_{(N)}\)なので、MP≧3となる各MPについての最小数の探索において、各位の数字の中に2と3が含まれる場合は除かれます。
\((3\times 4)_{(N)}=(2\times 6)_{(N)}\)なので、\(4\le a_{1},a_{2},\cdots ,a_{i}\lt 6\le a_{i+1},\cdots ,a_{n}\lt \mathrm{\small N}\)とすると、\((34a_{1}a_{2}\cdots a_{n})_{(N)}\)という数と\((2a_{1}a_{2}\cdots a_{i}6a_{i+1}\cdots a_{n})_{(N)}\)という数では、各位の数字を掛け合わせると同じ結果になり、\((2a_{1}a_{2}\cdots a_{i}6a_{i+1}\cdots a_{n})_{(N)}\lt (34a_{1}a_{2}\cdots a_{n})_{(N)}\)なので、MP≧3となる各MPについての最小数の探索において、各位の数字の中に3と4が含まれる場合は除かれます。
すると、7進法では、MP≧3となる各MPについての最小数は、各位の数字の中に2が2つ以上含まれる場合と、2と3が含まれる場合と、3と4が含まれる場合が除かれるので、
\(\overset{n_{1}}{\overbrace{3\cdots 3}}\overset{n_{2}}{\overbrace{5\cdots 5}}\overset{n_{3}}{\overbrace{6\cdots 6}}_{(7)}\)、
\(x\overset{n_{1}}{\overbrace{4\cdots 4}}\overset{n_{2}}{\overbrace{5\cdots 5}}\overset{n_{3}}{\overbrace{6\cdots 6}}_{(7)},\ x=\emptyset,2\)
というパターンに限られることになります。なお、n1,n2,n3のいずれかが0となる場合も含みます。n1+n2+n3≦600で、各MPについての最小数は、7進法表記では以下のような結果になります。
\begin{array}{|r|r|r|c|}
\hline
\mathrm{MP}&左記の\mathrm{MP}となる最小数&&各位の数字の\\ &(7進法表記)&(10進法表記) & 積の素因数分解 \\ \hline
1 & 10 & 7 &- \\ \hline
2 & 24 & 18 & 2^{3} \\ \hline
3 & 36 & 27 & 2^{1}3^{2} \\ \hline
4 & 245 & 131 & 2^{3}5^{1} \\ \hline
5 & 4445 & 1601 & 2^{6}5^{1} \\ \hline
6 & 44556 & 11262 & 2^{5}3^{1}5^{2} \\ \hline
7 & 5555555 & 686285 & 5^{7} \\ \hline
8 & 44455555555555666 & 1086400325525346 & 2^{9}3^{3}5^{11} \\ \hline
\end{array}