正十九角形の作図
Last modified: 2002 Feb 03 Sun
19次方程式x19 - 1 = 0の解はzk = cos(2kπ/19) + i sin(2kπ/19),(n=0,±1,±2,±3,±4,±5,±6,±7,±8,±9)となりますが、
α = z1 + z-1 + z7 + z-7 + z8 + z-8
β = z2 + z-2 + z3 + z-3 + z5 + z-5
γ = z4 + z-4 + z6 + z-6 + z9 + z-9
とするとα+β+γ = -1,αβ+βγ+γα = -6,αβγ = 7 となることから、α,β,γは解と係数の関係から、3次方程式t3 + t2 - 6t - 7 = 0 の解となります。t = u - (1/3)とおくと、u3 - (19/3)u - (133/27) = 0より、u = r cosθとおくと、３倍角の公式cos3θ = 4cos3θ - 3cosθを用いて
(3/4)r2 = 19/3
(1/4)r3cos3θ = 133/27
から、
r = (2/3) 191/2
cos3θ = (7/2) 19-1/2
で、α,β,γは
α = -(1/3) + (2/3) 191/2cosθ
β = -(1/3) + (2/3) 191/2cos(θ + 2π/3)
γ = -(1/3) + (2/3) 191/2cos(θ - 2π/3)
となります。
続いてα,β,γからRe(z1)などを求めるわけですが、
(z1 + z-1)(z7 + z-7) + (z7 + z-7)(z8 + z-8) + (z8 + z-8)(z1 + z-1) = z1 + z7 + z8 + z-1 + z-7 + z-8 + z4 + z6 + z9 + z-4 + z-6 + z-9 = α+γ = -β - 1
(z1 + z-1)(z7 + z-7)(z8 + z-8) = 2 + z2 + z-2 + z3 + z-3 + z5 + z-5 = β + 2
から、Re(z1) + Re(z7) + Re(z8) = α/2,Re(z1)Re(z7) + Re(z7)Re(z8)+ Re(z8)Re(z1) = -(β+1)/4,Re(z1)Re(z7)Re(z8) = (β+2)/8で、解と係数の関係を用いて、Re(z1),Re(z7),Re(z8)は、3次方程式v3 - (α/2)v2 - ((β+1)/4)v - (β+2)/8 = 0 の解となります。
v = w - (α/6)とおくと、w3 + ((2β+7)/12)w - (20β+3α+33)/216 = 0より、u = r' cosθ'とおくと、３倍角の公式cos3θ' = 4cos3θ' - 3cosθ'を用いて
(3/4)r2 = (2β+7)/12
(1/4)r3cos3θ = (20β+3α+33)/216
から、
r' = (1/3) (2β+7)1/2
cos3θ' = ((20β+3α+33)/2) (2β+7)-3/2
で、Re(z1),Re(z7),Re(z8)は
Re(z1) = -(α/6) + (1/3) (2β+7)1/2cosθ
Re(z7) = -(α/6) + (1/3) (2β+7)1/2cos(θ + 2π/3)
Re(z8) = -(α/6) + (1/3) (2β+7)1/2cos(θ - 2π/3)
となります。
同様にRe(z2),Re(z3),Re(z5)は、3次方程式v3 - (β/2)v2 - ((γ+1)/4)v - (γ+2)/8 = 0 の解、Re(z4),Re(z6),Re(z9)は、3次方程式v3 - (γ/2)v2 - ((α+1)/4)v - (α+2)/8 = 0 の解となります。
次に、実際の作図ですが、下の図のように、まず、座標原点を中心に半径１の円を描きます。60度，90度の作図は定規とコンパスのみで作図できるので、ｘ軸、ｙ軸と、ｘ軸と60度で交差する２本の直線を作図します。点Ｕは円周の六等分点と座標原点との中点、点Ｖは2つの円周の六等分点を結ぶ線分を延長してｘ座標が-3/2となる点で、これらも定規とコンパスのみで作図できます。それぞれの座標はＵ(1/4,-31/2/4)，Ｖ(-3/2,-31/2/2)で表されます。次に、線分ＵＶとｘ軸の交点Ｗを求め、点Ｗを中心に半径(2/3) 191/2の円(赤色)を描きます。点Ｗの座標は(-1/3,0)で、cos(∠ＵＷＸ)＝(7/2) 19-1/2です。ここで、「角の三等分器」を使って∠ＵＷＸの三等分線、及びこの三等分線と互いに120度をなす直線を作図して、円Ｗとの交点を求め、これらの交点からｘ軸へ垂線(緑色)を降ろして点α,β,γを求めます。点α,β,γのｘ座標がRe(z1 + z7 + z8)＝α,Re(z2 + z3 + z5)＝β,Re(z4 + z6 + z9)＝γとなります。
続いてα,β,γからRe(z1),Re(z7),Re(z8)を求めるわけですが、まず、(-(α/6),0)の点を中心に半径(1/3) (2β+7)1/2の円(紫色)を描き、cos3θ' = ((20β+3α+33)/2) (2β+7)-3/2なる角度3θ'を作図します。-(α/6)、(1/3) (2β+7)1/2、 ((20β+3α+33)/2) (2β+7)-3/2という値はいずれもα,β,γ有限回の四則演算と開平で得られる値なので、定規とコンパスによる作図は可能ですが、複雑になるのでその作図法は省略します。以下は、これらの値が作図できたものとして続けます。角度3θ'の三等分線を再度「角の三等分器」を使って作図し、この三等分線と互いに120度をなす直線を作図して、この円との交点を求め、これらの交点からｘ軸へ垂線(緑色)を降ろすと、Re(z1),Re(z7),Re(z8)をｘ座標とする点Ｑ1,Ｑ7,Ｑ8が求まり、これらの点から垂線を延長して半径１の円との交点を求めると円周の十九等分点が求まるので、正十九角形(赤色)の作図が可能となります。
Re(z2),Re(z3),Re(z5)についても、α→β、β→γ、γ→αとして上記と同様の作図をするとRe(z2),Re(z3),Re(z5)をｘ座標とする点Ｑ2,Ｑ3,Ｑ5が求まります。
Re(z4),Re(z6),Re(z9)についても、α→γ、β→α、γ→βとして上記と同様の作図をするとRe(z4),Re(z6),Re(z9)をｘ座標とする点Ｑ4,Ｑ6,Ｑ9が求まります。
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