作図不可能多角形の作図
Last modified: 2002 May 25 Sat
数学においては「作図問題 construction problem」というものがあります。作図とは、「定規とコンパスのみによって作図する」ということで、ここでいう「定規」とは目盛りのついてない定規のことです。もう少し詳しくいうと、「定規とコンパスのみによる作図」とは、
１．直線と直線
２．直線と円
３．円と円
の交点を次々に求めていくことで、作図可能な図形とは、これらを有限回繰り返すことによって得られる図形のことをいいます。
正多角形の中では、まず、正三角形と正方形が作図可能であるということは容易にわかるでしょう。「定規とコンパスのみによる作図」では任意の角の二等分も可能なので、これらの二倍、四倍、八倍、・・・の頂点をもつ、正六角形、正八角形、正十二角形、正十六角形・・・の作図も可能です。
正三角形と正方形に続いて、正五角形も作図可能であることを発見したのは古代ギリシアのピタゴラス学派であるといわれています。正五角形の作図が可能であることから、正十角形、正二十角形、・・・の作図も可能で、正三角形の作図と組み合わせて正十五角形、正三十角形、・・・の作図も可能であることもわかりました。しかし、古代ギリシアの人たちは正七角形や正九角形が作図可能であることは示せませんでした。
以来、正七角形や正九角形の作図可能性は示せませんでしたが、1796年、カール・フリードリヒ・ガウス(Carl Friedlich Gaus)によって正十七角形が作図可能であることが示されました。ガウスはそればかりか、現在フェルマー数とよばれている
なる数が素数であるとき作図可能であるということを証明しました。フェルマー数はｍがm=0,1,2,3,4と増えるにつれて3,5,17,257,65537と急速に大きくなっていきます。しかし、ｍが５以上の場合については素数となるフェルマー数は今のところ発見されていません。こうして、ガウスは正ｎ角形についてｎが２の累乗とフェルマー素数pi(3,5,17,257,65537)とでn =
2kp1p2p3…pr という素因数分解で表されるときに限って作図可能であるということを証明しました。
「定規とコンパスのみによる作図」では、ある量を線分で表したとき、四則演算と開平の有限回の組み合わせで表すことができる量だけが作図可能となります。正ｎ角形が作図可能であることをいうには、cos(2π/ｎ)（或いはsin(2π/ｎ)）が四則演算と開平の有限回の組み合わせで表すことができる数だといえれば作図ができます。正十七角形の場合は、17次方程式x17 - 1 = 0の解z = cos(2nπ/17) + i sin(2nπ/17),(n=0,±1,±2,±3,±4,±5,±6,±7,±8)が四則演算と開平の有限回の組み合わせで表すことができる数であることがいえたわけで、上記の17次方程式を解く問題を2次方程式を4回解く問題に還元することができます。
これに対して、例えば正九角形の作図は9次方程式 x9 - 1 = 0の解を求める問題となるわけですが、u = x + x-1とおくと、(u + 1)(u3 - 3u + 1) = 0となって、3次方程式u3 - 3u + 1 = 0の解を求めようとすると三乗根が出てきてしまい、「定規とコンパスのみによる作図」は不可能です。「ギリシア幾何学の三大難問」の一つに「任意の角の三等分」がありますが、これも、３倍角の公式cos3θ = 4cos3θ - 3cosθを使って角度3θが与えられたときのcosθを求めようとすると3次方程式を解くことになるのでやはり三乗根が出てきてしまい、「定規とコンパスのみによる作図」は不可能です。正九角形の場合の3次方程式はu = 2cosθとするとθ＝40度の場合の３倍角の公式となります。
「任意の角の三等分」は「定規とコンパスのみによる作図」では不可能ですが、もし、「定規とコンパス」に加えて「角の三等分器」の使用を許したとすると、ある量を線分で表したとき、四則演算と開平と開立の有限回の組み合わせで表すことができる量が作図可能となります。例えば正九角形の作図も可能となります。この他にも、正七角形、正十三角形、正十九角形の作図も可能となります。これらの場合(n=7,13,19)はｎ次方程式xn - 1 = 0を解く問題は2次方程式と3次方程式を有限回解く問題に還元することができます。
正七角形の作図
正十三角形の作図
正十九角形の作図
正十一角形の作図は「角の三等分器」の使用を許したとしても作図は不可能です。11次方程式x11 - 1 = 0の解を求めようとすると、u = x + x-1とおくと、u5 + u4 - 4u3 - 3u2 +3u + 1 = 0 という5次方程式を解くことになって解を四則演算と開平と開立の有限回の組み合わせで表すことができないからです。
参考文献:
大野栄一, 定規とコンパスで挑む数学, 1993
J.H. コンウェイ／R.K. ガイ, 数の本, シュプリンガー・フェアラーク東京, 2001