正七角形の作図
Last modified: 2002 Feb 03 Sun
7次方程式x7 - 1 = 0の解はzk = cos(2kπ/7) + i sin(2kπ/7),(n=0,±1,±2,±3)となりますが、α = z1 + z-1,β = z2 + z-2,γ = z3 + z-3とするとα+β+γ = -1,αβ+βγ+γα = -2,αβγ = 1 となることから、α,β,γは解と係数の関係から、3次方程式t3 + t2 - 2t - 1 = 0 の解となります。t = u - (1/3)とおくと、u3 - (7/3)u - (7/27) = 0より、u = r cosθとおくと、３倍角の公式cos3θ = 4cos3θ - 3cosθを用いて
(3/4)r2 = 7/3
(1/4)r3cos3θ = 7/27
から、
r = (2/3) 71/2
cos3θ = (1/2) 7-1/2
で、α,β,γは
α = -(1/3) + (2/3) 71/2cosθ
β = -(1/3) + (2/3) 71/2cos(θ + 2π/3)
γ = -(1/3) + (2/3) 71/2cos(θ - 2π/3)
であり、α = 2 Re(z1), β = 2 Re(z2) ,γ = 2 Re(z3)から、
Re(z1) = -(1/6) + (1/3) 71/2cosθ
Re(z2) = -(1/6) + (1/3) 71/2cos(θ + 2π/3)
Re(z3) = -(1/6) + (1/3) 71/2cos(θ - 2π/3)
となります。
次に、実際の作図ですが、下の図のように、まず、座標原点を中心に半径１の円を描きます。60度，90度の作図は定規とコンパスのみで作図できるので、ｘ軸、ｙ軸と、ｘ軸と60度で交差する２本の直線を作図します。点Ｕは円周の六等分点と座標原点との中点、点Ｖは2つの円周の六等分点を結ぶ線分とｙ軸の交点で、これらも定規とコンパスのみで作図できます。それぞれの座標はＵ(-1/4,-31/2/4)，Ｖ(0,-31/2/2)で表されます。次に、線分ＵＶとｘ軸の交点Ｗを求め、点Ｗを中心に半径(1/3) 71/2の円(紫色)を描きます。点Ｗの座標は(-1/6,0)で、ＷＶ＝(1/3) 71/2、cos(∠ＶＷＱ)＝(1/2) 7-1/2です。ここで、「角の三等分器」を使って∠ＶＷＱの三等分線を作図して、円Ｗとの交点Ｐを求め、点Ｐからｘ軸へ垂線を降ろして点Ｑを求めます。点Ｑのｘ座標がRe(z1)となることから、直線ＰＱを延長して座標原点を中心とした半径１の円との交点を求めると、円周の七等分点が求まるので、正七角形(赤色)の作図が可能となります。
上記の方法とは別に、点Ｕからｘ軸に平行な直線ＵＴを作図し、∠ＴＵＷの三等分線を作図して、ｘ軸との交点を求めることで点Ｑを求めることもできます。∠ＶＷＱ＝θ とすると、ＷＰ＝ＷＶ＝(1/3) 71/2より、ＷＱ＝(1/3) 71/2cosθで、点Ｕからｘ軸に垂線を降ろして点Ｓを求めるとＳ(-1/4,0)なので、ＳＷ＝1/12から、ＵＱ2＝ＳＵ2+ＳＱ2＝(((1/3) 71/2cosθ+1/12)2+3/16)となります。(ＵＱcosθ)2を計算すると、cos3θ = (1/4)cos3θ + (3/4)cosθ、cos3θ = (1/2) 7-1/2を用いて、(ＵＱcosθ)2＝((1/3) 71/2cosθ+1/12)2より、ＵＱcosθ＝ＳＱとなるので、∠ＵＱＷ＝∠ＴＵＷ＝θとなります。
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