正十三角形の作図

Last modified: 2002 Feb 03 Sun
　13次方程式x13 - 1 = 0の解はzk = cos(2kπ/13) + i sin(2kπ/13),(n=0,±1,±2,±3,±4,±5,±6)となりますが、

α = z1 + z-1 + z5 + z-5
β = z2 + z-2 + z3 + z-3
γ = z4 + z-4 + z6 + z-6

とするとα+β+γ = -1,αβ+βγ+γα = -4,αβγ = -1 となることから、α,β,γは解と係数の関係から、3次方程式t3 + t2 - 4t + 1 = 0 の解となります。t = u - (1/3)とおくと、u3 - (13/3)u + (65/27) = 0より、u = r cosθとおくと、３倍角の公式cos3θ = 4cos3θ - 3cosθを用いて

(3/4)r2 = 13/3
(1/4)r3cos3θ = -65/27

から、

r = (2/3) 131/2
cos3θ = -(5/2) 13-1/2

で、α,β,γは

α = -(1/3) + (2/3) 131/2cosθ
β = -(1/3) + (2/3) 131/2cos(θ + 2π/3)
γ = -(1/3) + (2/3) 131/2cos(θ - 2π/3)

であり、α = 2 Re(z1 + z5), β = 2 Re(z2 + z3) ,γ = 2 Re(z4 + z6)から、

Re(z1 + z5) = -(1/6) + (1/3) 131/2cosθ
Re(z2 + z3) = -(1/6) + (1/3) 131/2cos(θ + 2π/3)
Re(z4 + z6) = -(1/6) + (1/3) 131/2cos(θ - 2π/3)

となります。

　続いてα,β,γからRe(z1)などを求めるわけですが、(z1 + z-1)(z5 + z-5) = z4 + z-4 + z6 + z-6 = γから、Re(z1) + Re(z5) = α/2,Re(z1)Re(z5) = γ/4で、解と係数の関係を用いて、Re(z1)とRe(z5)は、2次方程式v2 - (α/2)v + γ/4 = 0　の解となります。同様にRe(z2)とRe(z3)は、2次方程式v2 - (β/2)v + α/4 = 0　の解、Re(z4)とRe(z6)は、2次方程式v2 - (γ/2)v + β/4 = 0　の解となります。

　次に、実際の作図ですが、下の図のように、まず、座標原点を中心に半径１の円を描きます。60度，90度の作図は定規とコンパスのみで作図できるので、ｘ軸、ｙ軸と、ｘ軸と60度で交差する２本の直線を作図します。点Ｕは円周の六等分点と座標原点との中点、点Ｖは2つの円周の六等分点を結ぶ線分を延長してｘ座標が-1となる点で、これらも定規とコンパスのみで作図できます。それぞれの座標はＵ(1/4,-31/2/4)，Ｖ(-1,-31/2/2)で表されます。次に、線分ＵＶとｘ軸の交点Ｗを求め、点Ｗを中心に半径(1/3) 131/2の円(紫色)を描きます。点Ｗの座標は(-1/6,0)で、ＷＶ＝(1/3) 131/2、cos(∠ＶＷＸ)＝-(5/2) 13-1/2です。ここで、「角の三等分器」を使って∠ＶＷＸの三等分線、及びこの三等分線と互いに120度をなす直線を作図して、円Ｗとの交点を求め、これらの交点からｘ軸へ垂線を降ろして点α,β,γを求めます。点α,β,γのｘ座標がRe(z1 + z5)＝α/2,Re(z2 + z3)＝β/2,Re(z4 + z6)＝γ/2となります。

　続いて点Ａ(α/2,γ/2)、点Ｂ(β/2,α/2)、点Ｃ(γ/2,β/2)、点Ｙ(0,1/2)を求め、ＹＡ，ＹＢ，ＹＣを直径にもつ円(紫色)を作図します（点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｙ及びこれらの３円も定規とコンパスで作図可能です）。直径ＹＡをもつ円とｘ軸の交点Ｑ1とＱ5がｘ座標Re(z1)とRe(z5)をもつ点となります。直径ＹＡをもつ円の方程式は(x - α/4)2 + (y - (γ+1)/4)2 = (α/4)2 + ((γ-1)/4)2ですが、ｘ軸との交点を求めるのでy = 0を代入すると、xについて2次方程式x2 - (α/2)x + γ/4 = 0が得られ、この2次方程式の解がRe(z1)とRe(z5)となります。直径ＹＢ，ＹＣをもつ円についても同様にｘ軸の交点Ｑ2とＱ3及びＱ4とＱ6を求めて、Ｑ1,Ｑ2,Ｑ3,Ｑ4,Ｑ5,Ｑ6についてｘ軸に対する垂線を作図して座標原点を中心とした半径１の円との交点を求めると正十三角形(赤色)の頂点が求まります。
　なお、点α,β,γを求める方法は、上記の他、∠ＴＵＷの三等分線及びこの三等分線と60度で交差する２本の直線を作図して、これら３本の直線とｘ軸の交点を求める方法もあります。

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