五体問題

Last modified: 2002 Jan 14 Mon

　等質量の四体について正方形解、正三角形解、直線解があるように、等質量の五体についても、五質点が正五角形の頂点にある解(正五角形解)、四質点が正方形の頂点にあり、第五の質点が系の重心にある解(正方形解)、五質点が直線上に並ぶ解(直線解)、というものがあります。

正五角形解

　５つの質点の軌道半径をｒ、角速度をω、質量をｍとすると、

となり(Ｇは重力定数)、角速度は

となります。

正方形解	５つの質点の質量をｍ、軌道上の４つの質点の角速度をω、軌道半径をｒ、とすると、となり、角速度はとなります。

直線解	５つの質点の質量をｍ、角速度をω、内側の軌道半径をｒ₁、外側の軌道半径をｒ₂、とすると、　となります。(ｒ₂／ｒ₁)＝１＋ｘとおくと、ｘ＝1.120060342…となります。

超々８の字解

　四体問題の超８の字解はループが３つつながっていますが、この解はループが４つつながっています。ループが４つつながっていることから、４チェーン解ともいいます。三体問題の８の字解、四体問題の超８の字解は２チェーン解、３チェーン解ともいいます。図の軌道はNew Families of Solutions in N-Body Problems(PDF形式)に示されていた初期条件から数値的に計算して求めたものです。

　解の挙動のアニメーション
　　・301x301
　　・151x151

８の字解

　この解はNew Families of Solutions in N-Body Problems(PDF形式)に示されていたもので、図の軌道は、http://www.ams.org/new-in-math/cover/orbits5.htmlで紹介されていた方法で数値的に求めたものです。

　解の挙動のアニメーション
　　・301x201
　　・151x101

三葉解

　この解もNew Families of Solutions in N-Body Problems(PDF形式)にやはり示されていたもので、図の軌道は、http://www.ams.org/new-in-math/cover/orbits5.htmlで紹介されていた方法で数値的に求めたものです。

　解の挙動のアニメーション
　　・401x401
　　・201x201

非対称８の字解

平行四辺形解

　四体問題の平行四辺形解と同様に、２つの質点２組が平行四辺形の配置をとって、直交する楕円状の軌道上を互いに逆向きに回転するものですが、第五の質点が系の重心にあるというものです。４つの質点が周期的に正方形の配置をとったり、一直線上に並んだりします。図の軌道はやはりhttp://www.ams.org/new-in-math/cover/orbits5.htmlで紹介されていた方法を応用して数値的に求めたものです。

　解の挙動のアニメーション
　　・301x301
　　・151x151

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