四体問題

Last modified: 2002 Jan 14 Mon

　三体問題の厳密解にオイラーの直線解とラグランジュの正三角形解があるように、等質量の四体についても、四質点が正方形の頂点にある解(正方形解)、三質点が正三角形の頂点にあり、第四の質点が系の重心にある解(正三角形解)、四質点が直線上に並ぶ解(直線解)、というものがあります。

正方形解	４つの質点の軌道半径をｒ、角速度をω、質量をｍとすると、となり、角速度はとなります。

正三角形解

　４つの質点の質量をｍ、軌道上の３つの質点の角速度をω、軌道半径をｒ、とすると、

となり(Ｇは重力定数)、角速度は

となります。

直線解	４つの質点の質量をｍ、角速度をω、内側の軌道半径をｒ₁、外側の軌道半径をｒ₂、とすると、　となります。(ｒ₂／ｒ₁)＝１＋ｘとおくと、ｘ＝2.162120398…となります。

超８の字解

　この他、三体問題の８の字解に似た解もあります。８の字解はループが２つつながっていますが、この解はループが３つつながっていて、超８の字型(super figure-eight)といわれています。図の軌道はNew Families of Solutions in N-Body Problems(PDF形式)に示されていた初期条件から数値的に計算して求めたものです。

　解の挙動のアニメーション
　　・301x101
　　・151x51

二等辺三角形解

　www.math.umn.edu/~kchen/publication/Trans.psに示されていた解です。８の字解よりも以前から知られていた解ですが、対称性が低いせいか、あまり知られていないようです。
　４つの質点の配置は、上の図のようになっていて、　４つの質点の質量をｍ、角速度をωとすると、

　となります。数値的には、(ｘ／ｒ)＝0.9457385…、(ｙ／ｒ)＝1.620996…、となります。

三葉解

　この解はhttp://www.ams.org/new-in-math/cover/orbits4.htmlに示されていたものです。図の軌道は、http://www.ams.org/new-in-math/cover/orbits5.htmlで紹介されていた方法で数値的に求めたものです。

　解の挙動のアニメーション
　　・351x401
　　・176x201

非対称８の字解

　この解もhttp://www.ams.org/new-in-math/cover/orbits4.htmlに示されていたもので、やはり、http://www.ams.org/new-in-math/cover/orbits5.htmlで紹介されていた方法で数値的に求めたものです。

　解の挙動のアニメーション
　　・301x201
　　・151x101

平行四辺形解

　この解もwww.math.umn.edu/~kchen/publication/Trans.psに示されていた解です。２つの質点２組が平行四辺形の配置をとって、直交する楕円状の軌道上を互いに逆向きに回転するというものです。４つの質点が周期的に正方形の配置をとったり、一直線上に並んだりします。軌道の形は一見楕円のように見えますが、フーリエ係数で高次の項を含んでいるので楕円ではありません。図の軌道は、http://www.ams.org/new-in-math/cover/orbits5.htmlで紹介されていた方法を応用して数値的に求めたものです。

　解の挙動のアニメーション
　　・301x301
　　・151x151

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