正八面体惑星の重力ポテンシャル
正八面体の\(6\)つの頂点が、\((\pm a,0,0),\ (0,\pm a,0),\ (0,0,\pm a)\)にあり、密度\(\rho\)が一定の場合、重力ポテンシャル\(U(x,y,z)\)は以下のように表される。
\[U(x,y,z)=-G\rho\sum_{i,j,k=0,1}u_{1}((-1)^{i}x, (-1)^{j}y, (-1)^{k}z, a)\]
\[r_{1} = \sqrt{(x - a)^{2} + y^{2} + z^{2}},\
r_{2} = \sqrt{x^{2} + (y - a)^{2} + z^{2}},\
r_{3} = \sqrt{x^{2} + y^{2} + (z - a)^{2}}\]
\[r_{12}=r_{23}=r_{31}=\sqrt{2}a\]
\[\tilde{L}_{12}=r_{12}L_{12}=\ln{\frac{r_{1}+r_{2}+r_{12}}{r_{1}+r_{2}-r_{12}}},\
\tilde{L}_{23}=r_{23}L_{23}=\ln{\frac{r_{2}+r_{3}+r_{23}}{r_{2}+r_{3}-r_{23}}},\
\tilde{L}_{31}=r_{31}L_{31}=\ln{\frac{r_{3}+r_{1}+r_{31}}{r_{3}+r_{1}-r_{31}}}\]
\[S_{1}=\arctan{\frac{(x+y+z-a)r_{1}}{-[(y+z)(x+y+z-a)-3yz]}}\]
\[S_{2}=\arctan{\frac{(x+y+z-a)r_{2}}{-[(z+x)(x+y+z-a)-3zx]}}\]
\[S_{3}=\arctan{\frac{(x+y+z-a)r_{3}}{-[(x+y)(x+y+z-a)-3xy]}}\]
\begin{align*}
u_{1}(x, y, z, a) =& \frac{a-(x+y+z)}{6\sqrt{2}}[(-x-y+2z+a)\tilde{L}_{12}+(2x-y-z+a)\tilde{L}_{23}+(-x+2y-z+a)\tilde{L}_{31}]\\
&-\frac{(a-(x+y+z))^2}{6}[S_{1}+S_{2}+S_{3}-\pi\mathrm{sgn}(a-(x+y+z))]
\end{align*}
重力ポテンシャル\(U(x,y,z)\)を\(C_{4}\)軸と垂直で原点を通る断面でプロットしたのが以下の図である。
重力ポテンシャル\(U(x,y,z)\)を正八面体の面心\((\pm a/3,\pm a/3,\pm a/3)\)を通る鏡映対称面でプロットしたのが以下の図である。一点鎖線は正八面体の面心方向を示している。
上の図で十分遠方、あるいは中心付近では球対称な場合の重力ポテンシャルとの差は少なくなるが、正八面体の表面付近では歪みが大きくなっている。密度\(\rho\)が一定な半径\(a\)の球(総質量\(M=\frac{4\pi}{3}\rho a^{3}\))による重力ポテンシャル\(U(x,y,z)\)は、\(r=\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}\)として
\[U(x,y,z)= \left\{ \begin{array}{cl}
\dfrac{2\pi}{3}G\rho[-3a^{2} + r^{2}] & (r \le a) \\
-\dfrac{GM}{r} & (r \ge a) \\
\end{array} \right.\]
であるが、正八面体惑星の場合、中心付近では、
\[U(x,y,z)\simeq G\rho[(-2\sqrt{2}\ln{(3+2\sqrt{2})}+\dfrac{2\pi}{3})a^{2} + \dfrac{2\pi}{3}r^{2}]\]
十分遠方では、総質量\(M(=\frac{4}{3}\rho a^{3})\)の質点による重力ポテンシャルと同じく、球対称な場合の重力ポテンシャルと同様に、
\[U(x,y,z)\simeq -\dfrac{GM}{r}\]
となる。