正四面体惑星の重力ポテンシャル
正四面体の\(4\)つの頂点が、\((a,a,a),\ (a,-a,-a),\ (-a,a,-a),\ (-a,-a,a)\)にあり、密度\(\rho\)が一定の場合、重力ポテンシャル\(U(x,y,z)\)は以下のように表される。
\[U(x,y,z)=-G\rho[u_{1}(x, y, z, a) + u_{1}(-x, -y, z, a) + u_{1}(-x, y, -z, a) + u_{1}(x, -y, -z, a)]\]
\[r_{1} = \sqrt{(x - a)^{2} + (y - a)^{2} + (z - a)^{2}}\]
\[r_{2} = \sqrt{(x + a)^{2} + (y + a)^{2} + (z - a)^{2}}\]
\[r_{3} = \sqrt{(x - a)^{2} + (y + a)^{2} + (z + a)^{2}}\]
\[r_{12}=r_{23}=r_{31}=2\sqrt{2}a\]
\[\tilde{L}_{12}=r_{12}L_{12}=\ln{\frac{r_{1}+r_{2}+r_{12}}{r_{1}+r_{2}-r_{12}}},\
\tilde{L}_{23}=r_{23}L_{23}=\ln{\frac{r_{2}+r_{3}+r_{23}}{r_{2}+r_{3}-r_{23}}},\
\tilde{L}_{31}=r_{31}L_{31}=\ln{\frac{r_{3}+r_{1}+r_{31}}{r_{3}+r_{1}-r_{31}}}\]
\[S_{1}=\arctan{\frac{[a - (x - y + z)]r_{1}}{-[(a - x + y - z) (z + x + a) + 3 z x - 3 a y]}}\]
\[S_{2}=\arctan{\frac{[a - (x - y + z)]r_{2}}{-[(a - x + y - z) (-y + z + a) - 3 y z + 3 a x]}}\]
\[S_{3}=\arctan{\frac{[a - (x - y + z)]r_{3}}{-[(a - x + y - z) (x - y + a) - 3 x y + 3 a z]}}\]
\begin{align*}
u_{1}(x, y, z, a) =& \frac{a - (x - y + z)}{6\sqrt{2}}
[(x - y - 2 z + 2 a)\tilde{L}_{12}+(x + 2 y + z + 2 a)\tilde{L}_{23}+(-2 x - y + z + 2 a)\tilde{L}_{31}]\\
&-\frac{(a - (x - y + z))^2}{6}[S_{1}+S_{2}+S_{3}-\pi\mathrm{sgn}(a - (x - y + z))]
\end{align*}
重力ポテンシャル\(U(x,y,z)\)を\(C_{3}\)軸\(((1,1,1)方向)\)と垂直で原点を通る断面でプロットしたのが以下の図である。
重力ポテンシャル\(U(x,y,z)\)を鏡映対称面でプロットしたのが以下の図である。一点鎖線は正四面体の面心方向を示している。
上の図で十分遠方、あるいは中心付近では球対称な場合の重力ポテンシャルとの差は少なくなるが、正四面体の表面付近では歪みが大きくなっている。正四面体惑星の場合、\(r=\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}\)として、中心付近では、
\[U(x,y,z)\simeq G\rho[-2\sqrt{2}\ln{(5+2\sqrt{6})}+\dfrac{2\pi}{3}r^{2}]\]
十分遠方では、総質量\(M(=\frac{8}{3}\rho a^{3})\)の質点による重力ポテンシャルと同じく、球対称な場合の重力ポテンシャルと同様に、
\[U(x,y,z)\simeq -\dfrac{GM}{r}\]
となる。