sd9混成軌道(四次元)

sd⁹混成軌道(四次元)

　4次元空間では、ｄ軌道は9種類ありますが、ｓ軌道との混成軌道はsd⁹混成軌道で、その軌道の形は10対20本の腕を伸ばしています。SU(5)(五次元特殊ユニタリー群)のルート・ベクトルがなす図形は五次元空間内の表示では(1,-1,0,0,0)の置換で表される20個の頂点からなる四次元図形で、sd⁹混成軌道は、このSU(5)のルート・ベクトルがなす図形の頂点方向に向いた軌道を有していると予想されます。ちなみにSU(5)は大統一理論で応用されたこともあります。

　このSU(5)のルート・ベクトルがなす図形は、"Runcinated 5-cell"^*1という図形で、正5胞体^*2に"runcination"という操作を行ってできる図形です。SU(5)の単純ルートベクトルは、α₁＝(1,-1,0,0,0)，α₂＝(0,1-1,0,0)，α₃＝(0,0,1,-1,0)，α₄＝(0,0,0,1,-1)で、これらを用いて、ルート・ベクトルは、

±α₁，±α₂，±α₃，±α₄，
±(α₁+α₂)，±(α₂+α₃)，±(α₃+α₄)，
±(α₁+α₂+α₃)，±(α₂+α₃+α₄)，
±(α₁+α₂+α₃+α₄)，

　と、表されますが、これはSU(5)の随伴表現である２４表現のウェイト・ベクトル(4重縮退した零ベクトルを除く)でもあります。これに対して、SU(5)の基本表現である５表現のウェイト・ベクトルは、

(4/5)α₁+(3/5)α₂+(2/5)α₃+(1/5)α₄＝(4/5,-1/5,-1/5,-1/5,-1/5)
-(1/5)α₁+(3/5)α₂+(2/5)α₃+(1/5)α₄＝(-1/5,4/5,-1/5,-1/5,-1/5)
-(1/5)α₁-(2/5)α₂+(2/5)α₃+(1/5)α₄＝(-1/5,-1/5,4/5,-1/5,-1/5)
-(1/5)α₁-(2/5)α₂-(3/5)α₃+(1/5)α₄＝(-1/5,-1/5,-1/5,4/5,-1/5)
-(1/5)α₁-(2/5)α₂-(3/5)α₃-(4/5)α₄＝(-1/5,-1/5,-1/5,-1/5,4/5)

　と、表され、正5胞体の頂点方向を向いています。５表現の共役表現である５^*表現のウェイト・ベクトルは、５表現のウェイト・ベクトルを空間反転させたもので、５^*表現のウェイト・ベクトルとは逆方向の正5胞体の頂点方向を向いています。５表現と５^*表現の直積表現は、２４表現と１表現に分解されますが、５表現のウェイト・ベクトルと５^*表現のウェイト・ベクトルを合成すると、２４表現のウェイト・ベクトルと零ベクトルである１表現のウェイト・ベクトルとなります。このことから、三次元空間では2つの正4面体を互いに逆方向に重ねたケプラーの八角星の隣接する頂点の中点を結ぶと立方8面体となったように、四次元空間では、2つの正5胞体を互いに逆方向に重ねた複合正多胞体(以下、「十角星」(Stella decangula)^*3といいます。)の隣接する頂点の中点を結ぶとRuncinated 5-cellとなります。

　上記の座標表示は五次元空間内での座標表示となっていますが、十角星やRuncinated 5-cellは四次元の図形なので、以下では四次元での座標表示に変換することにします。

　５表現のウェイト・ベクトルを長さが1になるように

　と規格化して、これらが正5胞体の頂点

に移り、これらと直交する

が(0,0,0,0,1)に移るように座標変換すると、SU(5)のルート・ベクトルは、

に移ります。この座標表示から、Runcinated 5-cellは三次元の断面として、立方8面体と、ディアスポラの用語でいえば四向（クアドラル）方向でデクスターとシニスターに互いに逆方向を向いた正4面体を有していることがわかります。

　正5胞体の5つの頂点を入れ換える操作からなる群は、5次の対称群

と同型で、位数は5!＝120です。n次の対称群の共役類を指定するには、その元を1項、2項、…、n項巡回置換の積に分解したとき、これらが含まれる個数k₁、k₂、…、k_nにより(k₁,k₂,…,k_n)で指定され、共役類の数はnの分割数となります。5次の対称群の場合は、5の分割の数は7で、共役類は、

(i)	(5,0,0,0,0)
(ii)	(3,1,0,0,0)
(iii)	(1,2,0,0,0)
(iv)	(2,0,1,0,0)
(v)	(0,1,1,0,0)
(vi)	(1,0,0,1,0)
(vii)	(0,0,0,0,1)

　の7つとなります。(i)は何も置換しないので恒等変換Eに相当します。(ii)は2つの頂点を入れ換えるので、残り3つの頂点を不動とする鏡映操作となります。(iii)は2組の2つの頂点を入れ換えるので、2組の2つの頂点からなる正4面体の辺の中点を結ぶ軸に関するπ回転C₂となります。(iv)は3つの頂点の巡回置換で2π/3回転操作C₃となります。(vi)は4つの頂点の巡回置換で回映操作S₄となります。

　正5胞体は空間反転対称性を有していないので、この群には空間反転の操作iは含まれていませんが、十角星とRuncinated 5-cellは空間反転対称性を有しているので、これらの図形に関する対称操作から成る群は、5次の対称群に空間反転の操作Iを加えたものとなります。すなわち、十角星の頂点に次のように

と名前をつけると、十角星に関する対称操作からなる群(以下、「十角星群」といいます。)は、頂点1,2,3,4,5の置換とこれと対称な頂点1,2,3,4,5の置換を含む操作と、これらの操作と空間反転の操作I＝(1 1)(2 2)(3 3)(4 4)(5 5)を合成した操作とから成ります。Runcinated 5-cellに関する対称操作からなる群も十角星群と同型です。
　十角星群の位数は5次の対称群の2倍の240で、共役類の数も2倍の14個となります。十角星群の指標表と共役類は以下のようになります(この計算にはMagmaを用いました)。

Class	C₁	C₂	C₃	C₄	C₅	C₆	C₇	C₈	C₉	C₁₀	C₁₁	C₁₂	C₁₃	C₁₄
Size	1	1	10	10	15	15	20	30	30	24	20	20	20	24
X₁	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
X₂	1	-1	-1	1	1	-1	1	-1	1	1	-1	1	-1	-1
X₃	1	1	-1	-1	1	1	1	-1	-1	1	-1	-1	1	1
X₄	1	-1	1	-1	1	-1	1	1	-1	1	1	-1	-1	-1
X₅	4	4	2	2	0	0	1	0	0	-1	-1	-1	1	-1
X₆	4	4	-2	-2	0	0	1	0	0	-1	1	1	1	-1
X₇	4	-4	-2	2	0	0	1	0	0	-1	1	-1	-1	1
X₈	4	-4	2	-2	0	0	1	0	0	-1	-1	1	-1	1
X₉	5	-5	1	-1	1	-1	-1	-1	1	0	1	-1	1	0
X₁₀	5	-5	-1	1	1	-1	-1	1	-1	0	-1	1	1	0
X₁₁	5	5	1	1	1	1	-1	-1	-1	0	1	1	-1	0
X₁₂	5	5	-1	-1	1	1	-1	1	1	0	-1	-1	-1	0
X₁₃	6	6	0	0	-2	-2	0	0	0	1	0	0	0	1
X₁₄	6	-6	0	0	-2	2	0	0	0	1	0	0	0	-1

共役類		代表元
C₁	E
C₂	I	(1 1)(2 2)(3 3)(4 4)(5 5)
C₃	(3,1,0,0,0)	(1 2)(1 2)
C₄	I(3,1,0,0,0)	(1 2)(1 2)(3 3)(4 4)(5 5)
C₅	(1,2,0,0,0)	(2 3)(4 5)(2 3)(4 5)
C₆	I(1,2,0,0,0)	(1 1)(2 3)(3 2)(4 5)(5 4)
C₇	(2,0,1,0,0)	(3 4 5)(3 4 5)
C₈	(1,0,0,1,0)	(2 3 4 5)(2 3 4 5)
C₉	I(1,0,0,1,0)	(1 1)(2 3 4 5)(2 3 4 5)
C₁₀	(0,0,0,0,1)	(1 2 3 4 5)(1 2 3 4 5)
C₁₁	(0,1,1,0,0)	(1 2)(3 4 5)(1 2)(3 4 5)
C₁₂	I(0,1,1,0,0)	(1 2)(1 2)(3 4 5 3 4 5)
C₁₃	I(2,0,1,0,0)	(1 1)(2 2)(3 4 5 3 4 5)
C₁₄	I(0,0,0,0,1)	(1 2 3 4 5 1 2 3 4 5)

　この指標表からまずわかることは、X₁～X₄が1次元表現、X₅～X₈が4次元表現、X₉～X₁₂が5次元表現、X₁₃とX₁₄が6次元表現となることと、X₁,X₃,X₅,X₆,X₁₁,X₁₂,X₁₃が空間反転について不変となり、X₂,X₄,X₇,X₈,X₉,X₁₀,X₁₄が空間反転で符号を変えることです。この中にはｄ軌道が属する9次元表現Δは既約表現としては含まれていません。

　各ｄ軌道が十角星群の対称操作でどのように変換するか求める前に、座標(x,y,z,u)がどのように変換するか、横ベクトル(x,y,z,u)に対する変換を表す変換行列を求めてみます。

　共役類C₃の代表元は、(1 2)(1 2)で、これは5次の対称群の共役類(ii)の代表元(1 2)に相当するものです。横ベクトル(x,y,z,u)に対する変換行列は、

で表現されます。

　共役類C₅の代表元は、(2 3)(4 5)(2 3)(4 5)で、これは5次の対称群の共役類(iii)の代表元(2 3)(4 5)に相当するものです。横ベクトル(x,y,z,u)に対する変換行列は、

で表現されます。

　共役類C₇の代表元は、(3 4 5)(3 4 5)で、これは5次の対称群の共役類(iv)の代表元(3 4 5)に相当するものです。横ベクトル(x,y,z,u)に対する変換行列は、

で表現されます。

　共役類C₈の代表元は、(2 3 4 5)(2 3 4 5)で、これは5次の対称群の共役類(vi)の代表元(2 3 4 5)に相当するものです。横ベクトル(x,y,z,u)に対する変換行列は、

で表現されます。

　共役類C₁₀の代表元は、(1 2 3 4 5)(1 2 3 4 5)で、これは5次の対称群の共役類(vii)の代表元(1 2 3 4 5)に相当するものです。横ベクトル(x,y,z,u)に対する変換行列は、

で表現されます。

　共役類C₁₁の代表元は、(1 2)(3 4 5)(1 2)(3 4 5)で、これは5次の対称群の共役類(v)の代表元(1 2)(3 4 5)に相当するものです。横ベクトル(x,y,z,u)に対する変換行列は、

で表現されます。

　共役類C₂の元は空間反転のみで、共役類C₄,C₆,C₁₃,C₉,C₁₄,C₁₂の元は共役類C₃,C₅,C₇,C₈,C₁₀,C₁₁の元と空間反転を合成したものとなります。

　変換行列の対角和に注目すると、

C₁	C₂	C₃	C₄	C₅	C₆	C₇	C₈	C₉	C₁₀	C₁₁	C₁₂	C₁₃	C₁₄
4	-4	2	-2	0	0	1	0	0	-1	-1	1	-1	1

　となるので、座標(x,y,z,u)は4次元表現X₈に属することがわかります。

　続いて、十角星群の対称操作でRuncinated 5-cellの10組の対蹠点

を結ぶ10本の超立体対角線が不変となる個数に注目すると、十角星群の対称操作で10個のsd⁹混成軌道の波動関数のうち不変に保たれる個数は、

Class	C₁	C₂	C₃	C₄	C₅	C₆	C₇	C₈	C₉	C₁₀	C₁₁	C₁₂	C₁₃	C₁₄
Γ	10	10	4	4	2	2	1	0	0	0	1	1	1	0

　となります。

　十角星群の対称操作でのｄ軌道の変換性を調べる前に、ｄ軌道の規格化をしておきます。

　四次元空間での超立体角の積分は、

　なので、四次元空間での2次の超球面調和関数について次の積分で規格化定数を求めます。

　各ｄ軌道の波動関数を、共通の動径関数と角度方向に規格化した超球面調和関数を用いて表現すると、次のようになります。

　そこで、

　が、十角星群の対称操作でどのように変換するか、上の9つの2次式を縦ベクトルの成分として、変換行列を求めてみます。

　共役類C₃の代表元(1 2)(1 2)については、変換行列は、

で表現されます。

　共役類C₅の代表元(2 3)(4 5)(2 3)(4 5)については、変換行列は、

で表現されます。

　共役類C₇の代表元(3 4 5)(3 4 5)については、変換行列は、

で表現されます。

　共役類C₈の代表元(2 3 4 5)(2 3 4 5)については、変換行列は、

で表現されます。

　共役類C₁₀の代表元(1 2 3 4 5)(1 2 3 4 5)については、変換行列は、

で表現されます。

　共役類C₁₁の代表元(1 2)(3 4 5)(1 2)(3 4 5)については、変換行列は、

で表現されます。

　共役類C₂の元は空間反転のみで、

は、いずれもx､y､zについて2次式なので空間反転について不変です。

　共役類C₄,C₆,C₁₃,C₉,C₁₄,C₁₂の元は共役類C₃,C₅,C₇,C₈,C₁₀,C₁₁の元と空間反転を合成したものとなります。

　変換行列の対角和に注目すると、

Class	C₁	C₂	C₃	C₄	C₅	C₆	C₇	C₈	C₉	C₁₀	C₁₁	C₁₂	C₁₃	C₁₄
Δ	9	9	3	3	1	1	0	-1	-1	-1	0	0	0	-1

　となるので、

Class	C₁	C₂	C₃	C₄	C₅	C₆	C₇	C₈	C₉	C₁₀	C₁₁	C₁₂	C₁₃	C₁₄
Γ	10	10	4	4	2	2	1	0	0	0	1	1	1	0
Δ	9	9	3	3	1	1	0	-1	-1	-1	0	0	0	-1
X₁	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
X₅	4	4	2	2	0	0	1	0	0	-1	-1	-1	1	-1
X₁₁	5	5	1	1	1	1	-1	-1	-1	0	1	1	-1	0

　より、


Γ＝X₁＋Δ＝X₁＋X₅＋X₁₁

　と簡約されることが予想されます。

　十角星群の各表現に対応する射影演算子ですが、表現行列は空間反転に対して不変なので、空間反転で指標が符号を変える既約表現X₂,X₄,X₇,X₈,X₉,X₁₀,X₁₄に対しては射影演算子が0となります。残りの7つの既約表現に対して計算すると、

で、残りの5つの既約表現X₁,X₃,X₆,X₁₂,X₁₃に対しては射影演算子が0となります(この計算にはMagmaを用いました)。

　射影演算子は固有値が0または1ですが、固有値1に対応する固有ベクトルが既約表現の基底に対応します。

　4次元表現X₅については、射影演算子の固有値1に対応する固有ベクトルは、

なので、

が基底となります。

　5次元表現X₁₁については、射影演算子の固有値1に対応する固有ベクトルは、

なので、

が基底となります。

　こうして、9次元表現Δが4次元表現X₅と5次元表現X₁₁に実際に簡約されることがわかりました。sd⁹混成軌道の10個の軌道が張る10次元表現Γは、ｓ軌道が属する1次元表現X₁とｄ軌道が属する9次元表現Δに簡約され、9次元表現Δは4次元表現X₅と5次元表現X₁₁に簡約されるので、


Γ＝X₁＋Δ＝X₁＋X₅＋X₁₁

となります。

　新たな基底を用いてsd⁹混成軌道の10個の軌道を求めてみます。

　xz平面内に伸び、頂点1と2(頂点1と2)を入れ換える鏡映操作によって不変である軌道は、超立体対角線

の方向を向いており、10個のｓｄ⁹混成軌道へのｓ軌道の寄与が全て等しいので

と仮定します。

　10個のｓｄ⁹混成軌道のうち6つはxyz超平面内に伸びていて、残り4つはxyz超平面外に伸びています。最初に仮定した軌道はxyz超平面外に伸びていて、10個のｓｄ⁹混成軌道を等しく重ね合わせると、ｄ軌道の寄与が相殺されてｓ軌道に戻るので、xyz超平面外に伸びる4つの軌道は

という形をしていて、xyz超平面内に伸びる6つの軌道は

という形をしています。10個のｓｄ⁹混成軌道へのd_u²軌道の総和は1なので、

で、最初に仮定した軌道は、

となります。

　最初に仮定した軌道は、頂点1と2(頂点1と2)を入れ換える鏡映操作によって不変ですが、鏡映操作によって

という形になります。これより

で、3*(6/5)b²+3*6c²=3/4より、c²=1/36となりますが、実際に超立体対角線

の方向を向いているのは、c=-1/6の場合となります。

　最初に仮定した軌道は、

と求められますが、頂点2,3,4,5(頂点2,3,4,5)を順次入れ換える回映操作を順次施すと、xyz超平面外に伸びた他の3つの軌道が、

と求められます。これらにさらに頂点1と2(頂点1と2)を入れ換える鏡映操作を施すと、

と求められます。これらにさらに頂点2,3,4,5(頂点2,3,4,5)を順次入れ換える回映操作を順次施すと、xyz超平面内に伸びた他の3つの軌道が、

と求められます。

　以上10個のｓｄ⁹混成軌道を、ｄ軌道の波動関数を用いて表すと、

となります。
　ｓｄ⁹混成軌道をxyz超平面でスライスしたものはこちらを参照。
　ｓｄ⁹混成軌道をxyu超平面でスライスしたものはこちらを参照。

*1 Runcinated 5-cellの三次元空間への射影および三次元空間での断面についてはこちらを参照。
*2 正5胞体の三次元空間への射影についてはこちらを参照。
*3 十角星の三次元空間への射影および三次元空間での断面についてはこちらを参照。"Stella Decangula"の造語についてはこちらを参照。