(続)sd5混成軌道
sd5混成軌道には、正20面体型のほかに、立方8面体型のものも考えられます。立方8面体も一様多面体で、正20面体と同じく12個の頂点を有しています。立方8面体型sd5混成軌道の6個の軌道は正8面体群Ｏhに属する対称操作によって互いに移り変わるので、Ｏhの可約な6次元表現Γを張っています。
正8面体群Ｏhに属する対称操作によって6つの波動関数のうち不変に保たれる個数に着目すると、
|
E |
8C3 |
6C2 |
6C4 |
3C2 =(C4)2 |
i |
6S4 |
8S6 |
3σh |
6σd |
| Γ |
6 |
0 |
2 |
0 |
2 |
6 |
0 |
0 |
2 |
2 |
となるので、これから
Γ＝A1g＋Eg＋T2g
と簡約されることがわかります。1次元表現A1gにしたがって変換するのはｓ軌道で、2次元表現Egにしたがって変換するのは2つのｄ軌道(dz2、dx2-y2)で、3次元表現T2gにしたがって変換するのは3つのｄ軌道(dxz、dyz、dxy)であることもわかります。ｓｄ5混成軌道の6つの軌道の線形結合でこれらの軌道が得られるので、その逆に、ｓ軌道と5つのｄ軌道の線形結合でｓｄ5混成軌道の6つの軌道をつくることもできます。
座標表示を用いると、立方8面体の12個の頂点は、(±1,±1,0)、(±1,0,±1)、(0,±1,±1)で表すこともできます。6つの軌道のうち(1,1,0)を向いているものを(sd5Oh)++0として、
とおくと、6つのｓｄ5混成軌道へのｓ軌道の寄与は全て等しいので
であり、b2+c2=5/6となります。
(sd5Oh)++0をz軸周りにπ/2だけ回転して得られたものを(sd5Oh)+-0とすると、dxy軌道は符号が反転するので、
となります。そして、これらの直交性からb2-c2=-1/6となります。これより、b2=1/3、c2=1/2となりますが、実際にxy平面内を向いているのは、
の場合となります。
次に、(1,0,1)を向いているものを(sd5Oh)+0+とすると、dxy軌道の寄与分の総和は先の2つの軌道で1となるので、他の4つの軌道への寄与は0となり、(sd5Oh)+0+と(sd5Oh)++0、(sd5Oh)+-0との直交性から、
という形になります。
(sd5Oh)+0+をz軸周りにπ/2だけ回転して得られたものを、(sd5Oh)0++とすると、dxz軌道はdyz軌道に移り、dx2-y2軌道は符号が反転するので、
という形になります。
(sd5Oh)+0+をz軸周りにπだけ回転して得られたものを、(sd5Oh)-0+とすると、dxz軌道は符号が反転するので、
という形になります。
(sd5Oh)0++をz軸周りにπだけ回転して得られたものを、(sd5Oh)0-+とすると、dyz軌道は符号が反転するので、
という形になります。
そして、これら相互の直交性から、
となり、以上より、
(sd5Oh)++0、(sd5Oh)+-0
(sd5Oh)+0+、
(sd5Oh)0++、
(sd5Oh)-0+、
(sd5Oh)0-+は、
となります。
(sd5Oh)++0を描画すると、z方向およびx方向から見たものは、次のようになります。
対称性が低いせいか、タコ型というより、四つ葉型のうち二つの葉が縮小したような軌道となっています。
そして、6つの軌道を位相が正の部分だけ重ねて表示したものは、次のようになります。
以上は4回対称軸をz軸として表示したものですが、3回対称軸をz軸として表示すると以下のようになります。
(x',y',z')を新たな座標系とすると、座標変換は次のように表されます。
この座標系に変換したのち、(x',y',z')を改めて(x,y,z)と表記すると、6つの軌道は次のようになります。
6つの軌道を描画すると、z方向から見たものは、次のようになります。
後半3つの軌道はxy平面内に伸びていて、前半3つの軌道はxy平面外に伸びています。
さらに、yz平面の方向に伸びた軌道をx方向から見たものは、次のようになります。
さらに、x軸方向に伸びた軌道をy方向およびx方向から見たものは、次のようになります。
そして、6つの軌道を位相が正の部分だけ重ねて表示したものは、次のようになります。
新たな座標系での表示では、係数が複雑な形になっていますが、これは、dz2、dx2-y2、dxz、dyz、dxyが新たな座標系においては既約表現の基底となっていないからです。
そこで、改めて既約表現の基底を求めてみることとします。既約表現の基底を求める際には、次のような射影演算子を用います。
ここで、Ciは群Gの共役類、gは群Gの位数、βは群Gの既約表現、dβは既約表現βの次元、Rは群Gの既約表現βにおける表現行列、χ(β)(Ci)は既約表現βにおける共役類Ciに属する元の指標です。
dz2、dx2-y2、dxz、dyz、dxyが張る5次元表現Δにおける正8面体群Ｏhの表現行列を求めてみることとします。各ｄ軌道の波動関数を、共通の動径関数と角度方向に規格化した球関数を用いて表現すると、次のようになります。
そこで、
が、正8面体群Ｏhの対称操作でどのように変換するか、変換行列を求めてみます。
立方体の8つの頂点に次のように名前をつけます。
z軸周りのπ/3回転は、置換
で表され、横ベクトル(x,y,z)に対する変換を表す表現行列は、
となります。これより、
は、
に変換されます。
頂点1と2(頂点1と2)を入れ換える鏡映操作は、置換
で表され、横ベクトル(x,y,z)に対する変換を表す表現行列は、
となります。これより、
は、
に変換されます。
z軸周りの2π/3回転は、置換
で表されますが、頂点1と2(頂点1と2)を入れ換える鏡映操作の後に、z軸周りの2π/3回転を施すと、これは、置換
で表されるので、回映操作S4となります。この対称操作では、
は、
に変換されます。
回映操作S4を2回施すと、置換
で表される、頂点1と3、頂点2と4を入れ換える操作となりますが、これは、頂点1と3の中点と頂点2と4の中点を結ぶ軸、すなわち立方体の4回対称軸の周りでのπ回転となります。この対称操作では、
は、
に変換されます。
空間反転は、置換
で表されますが、
は、いずれもx､y､zについて2次式なので空間反転について不変です。
頂点1と2を入れ換える鏡映操作の後に空間反転を施すと、これは、置換
で表されるので、頂点1と2、頂点2と1、頂点3と3、頂点4と4を入れ換える操作となりますが、これは、頂点1と2の中点と頂点2と1の中点を結ぶ軸、すなわち立方体の辺の中点を結ぶ2回対称軸の周りでのπ回転となります。
上の結果から、頂点3と4の中点と頂点4と3の中点を結ぶ2回対称軸の周りでのπ回転は、置換
で表されるので、頂点1と2を入れ換える鏡映操作の後に、頂点3と4の中点と頂点4と3の中点を結ぶ2回対称軸の周りでのπ回転を施すと、置換
で表され、頂点1,2,3,4は2,1,4,3に移るので、これは立方体の水平面での鏡映操作となります。
Ｏhの回映操作S6は、π/3回転と空間反転の合成であり、立方体の4回対称軸の周りでのπ/2回転は、回映操作S4と空間反転の合成であるので、以上から、5次元表現Δでの表現行列の対角和は、
|
E |
8C3 |
6C2 |
6C4 |
3C2 =(C4)2 |
i |
6S4 |
8S6 |
3σh |
6σd |
| Δ |
5 |
-1 |
1 |
-1 |
1 |
5 |
-1 |
-1 |
1 |
1 |
となります。こうして5次元表現Δは2次元表現Egと3次元表現T2gに簡約されうることがわかります。
正8面体群Ｏhの各表現に対応する射影演算子ですが、表現行列は空間反転に対して不変なので、空間反転で指標が符号を変える既約表現A1u,A2u,Eu,T1u,T2uに対しては射影演算子が0となります。残りの5つの既約表現に対して計算すると、
で、残りの3つの既約表現A1g,A2g,T1gに対しては射影演算子が0となります(この計算にはMagmaを用いました)。
射影演算子は固有値が0または1ですが、固有値1に対応する固有ベクトルが既約表現の基底に対応します。
2次元表現Egについては、射影演算子の固有値1に対応する固有ベクトルは、
なので、
が基底となります。
3次元表現T2gについては、射影演算子の固有値1に対応する固有ベクトルは、
なので、
が基底となります。
こうして、5次元表現Δが2次元表現Egと3次元表現T2gに実際に簡約されることがわかりました。立方8面体型sd5混成軌道の6個の軌道が張る6次元表現Γは、ｓ軌道が属する1次元表現A1gとｄ軌道が属する5次元表現Δに簡約され、5次元表現Δは2次元表現Egと3次元表現T2gに簡約されるので、
Γ＝A1g＋Δ＝A1g＋Eg＋T2g
となります。
新たな基底を用いて立方8面体型sd5混成軌道の6個の軌道を求めてみます。
xz平面内に伸び、頂点1と2(頂点1と2)を入れ換える鏡映操作によって不変である軌道を、6つのｓｄ5混成軌道へのｓ軌道の寄与が全て等しいので
と仮定します。
6つのｓｄ5混成軌道のうち3つはxy平面内に伸びていて、残り3つはxy平面外に伸びています。最初に仮定した軌道はxy平面外に伸びていて、6つのｓｄ5混成軌道を等しく重ね合わせると、ｄ軌道の寄与が相殺されてｓ軌道に戻るので、xy平面外に伸びる3つの軌道は
という形をしていて、xy平面内に伸びる3つの軌道は
という形をしています。6つのｓｄ5混成軌道へのdz2軌道の総和は1なので、
で、最初に仮定した軌道は、
となります。
最初に仮定した軌道は、頂点1と2(頂点1と2)を入れ換える鏡映操作によって不変ですが、鏡映操作によって
という形になります。これよりc=-1/3で、(3/2)b2+3c2=2/3より、b2=2/9となりますが、実際にxz平面内を向いているのは、
の場合となります。
最初に仮定した軌道は、
と求められますが、z軸周りでのπ/3回転と2π/3回転を施すと、xy平面外に伸びた他の2つの軌道が、
と求められます。これらにさらに頂点1と2(頂点1と2)を入れ換える鏡映操作を施すと、
と求められます。残りの1つの軌道は、z軸周りでのπ/3回転と2π/3回転を施すとこれら2つの軌道に移りますが、
という形をしています。こうして求められた6つの軌道は、既約表現の基底を用いずに求めた軌道と同じ形となります。
こうして求められたsd5混成軌道は立方8面体の頂点方向を向いていますが、sd5混成軌道を求める過程で用いた立方体の頂点1,2,3,4と頂点1,2,3,4は正4面体の頂点でもありますが、2つの正4面体が複合した立体は、ケプラーの八角星とも星形8面体ともいわれる立体です。ケプラーの八角星と立方8面体はどちらも正8面体群Ｏhに属する対称操作に従うものですが、ケプラーの八角星の頂点の中点を結ぶと、立方8面体の頂点となります。
立方8面体はSU(4)(四次元特殊ユニタリー群)のルート・ベクトルがなす図形でもあります。基本表現の４表現とその共役表現の４*表現はどちらもそのウェイト・ベクトルは正4面体をなしていますが、2つの正4面体を重ねるとケプラーの八角星となります。４表現と４*表現の直積表現は１５表現と１表現に分解され、１５表現のウェイト・ベクトル(3重縮退した零ベクトルを除く)は立方8面体となります。１５表現のウェイト・ベクトルの座標は4次元空間内の表示では(1,-1,0,0)の置換で表される12個の頂点と3重に縮退した(0,0,0,0)とから成ります。
このことから、SU(n)(ｎ次元特殊ユニタリー群)のルート・ベクトルがなす図形はｎ次元空間内の表示では(1,-1,0,…,0)の置換で表されるn(n+1)個の頂点からなる図形で、立方8面体型sd5混成軌道を(n-1)次元空間(n＞4)へ拡張したものは、このSU(n)のルート・ベクトルがなす(n-1)次元図形の頂点方向に向いた軌道を有していると予想されます。
ちなみに、SU(3)(三次元特殊ユニタリー群)の基本表現の３表現とその共役表現の３*表現はどちらもそのウェイト・ベクトルは正三角形をなしていますが、2つの正三角形を重ねるとダビデの星(六芒星)となります。ケプラーの八角星はダビデの星の三次元版といえます。３表現と３*表現の直積表現は８表現と１表現に分解され、８表現のウェイト・ベクトル(2重縮退した零ベクトルを除く)は正六角形となりますが、ダビデの星の頂点の中点を結ぶと正六角形ができます。８表現のウェイト・ベクトルの座標は3次元空間内の表示では(1,-1,0)の置換で表される6個の頂点と2重に縮退した(0,0,0)とから成ります。
