SU(4)の既約表現の次元と2次のCasimir演算子の固有値


・単純ルートベクトル

　α1＝(1,-1,0,0)，α2＝(0,1,-1,0)，α3＝(0,0,1,-1)

・正ルートベクトル

　α1，α2，α3，α1+α2，α2+α3，α1+α2+α3

　3次元空間内に表示したものはこちらである。

・カルタン行列



・基本ウェイトベクトル

　基本ウェイトベクトルと単純ルートベクトルは、カルタン行列を用いて


　という関係で結ばれ、


　であり、


　であるので、
　ω1＝(3/4)α1+(1/2)α2+(1/4)α3＝(3/4,-1/4,-1/4,-1/4)
　ω2＝(1/2)α1+α2+(1/2)α3＝(1/2,1/2,-1/2,-1/2)
　ω3＝(1/4)α1+(1/2)α2+(3/4)α3＝(1/4,1/4,1/4,-3/4)

　3次元空間内に表示したものはこちらである。

・ウェイトベクトル

　上記のω1，ω2，ω3を用いて、m1ω1＋m2ω2＋m3ω3（ただし、m1，m2，m3は整数）と表される。

・既約表現の次元

　Weylの次元公式を用いると、m1ω1＋m2ω2＋m3ω3を最高ウェイトベクトルとする既約表現の次元Nは、


　で表され、(α1，α1)＝(α2，α2)＝(α3，α3)＝2、
　kはk1α1＋k2α2＋k3α3が正ルートとなるようなk1，k2のすべての組を走るものとすると、
　(k1，k2，k3)は(1,0,0)，(0,1,0)，(0,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(1,1,1)をとりうるので、

(k1，k2，k3)
(1,0,0)m1＋1
(0,1,0)m2＋1
(0,0,1)m3＋1
(1,1,0)(1/2)(m1＋m2+2)
(0,1,1)(1/2)(m2＋m3+2)
(1,1,1)(1/3)(m1＋m2＋m3+3)

　より、


　となる。

　(m1，m2，m3)について表現の次元と最高ウェイトを計算すると、以下のようになる。

m1m2m3N最高ウェイト
00010(0,0,0,0)
1004(3/4)α1+(1/2)α2+(1/4)α3(3/4,-1/4,-1/4,-1/4)
0106(1/2)α1+α2+(1/2)α3(1/2,1/2,-1/2,-1/2)
0014(1/4)α1+(1/2)α2+(3/4)α3(1/4,1/4,1/4,-3/4)
20010(3/2)α1+α2+(1/2)α3(3/2,-1/2,-1/2,-1/2)
11020(5/4)α1+(3/2)α2+(3/4)α(5/4,1/4,-3/4,-3/4)
10115α1+α2+α3(1,0,0,-1)
30020(9/4)α1+(3/2)α2+(3/4)α3(9/4,-3/4,-3/4,-3/4)
02020α1+2α2+α3(1,1,-1,-1)

　次元公式を用いて、m1，m2，m3が負の領域についても m1ω1＋m2ω2＋m3ω3について上記のNを計算してプロットしたものがこちらである。

　最も自明な既約表現は、(m1，m2，m3)＝(0,0,0)の場合の1次元表現１である。いうまでもないが、この表現に属するウェイトベクトルは0であり、その縮重度は1である。
　次に、基本的な既約表現としては、(m1，m2，m3)＝(1,0,0)の4次元表現４がある。これはベクトル表現であり、この表現に属するウェイトベクトルは、

(3/4)α1+(1/2)α2+(1/4)α3＝(3/4,-1/4,-1/4,-1/4)，
(-1/4)α1+(1/2)α2+(1/4)α3＝(-1/4,3/4,-1/4,-1/4)，
(-1/4)α1+(-1/2)α2+(1/4)α3＝(-1/4,-1/4,3/4,-1/4)，
(-1/4)α1+(-1/2)α2+(-3/4)α3＝(-1/4,-1/4,-1/4,3/4)

であり、その縮重度はすべて1である。なお、SU(4)はSO(6)（六次元回転群）と準同型であるが、この4次元表現４はSO(6)のスピノル表現でもある。

　(m1，m2，m3)＝(1,0,0)の4次元表現４に対して、(m1，m2，m3)＝(0,0,1)の4次元表現４*は共役表現であり、この表現に属するウェイトベクトルは、

(1/4)α1+(1/2)α2+(3/4)α3＝(1/4,1/4,1/4,-3/4)，
(1/4)α1+(1/2)α2+(-1/4)α3＝(1/4,1/4,-3/4,1/4)，
(1/4)α1+(-1/2)α2+(-1/4)α3＝(1/4,-3/4,1/4,1/4)，
(-3/4)α1+(-1/2)α2+(-1/4)α3＝(-3/4,1/4,1/4,1/4)

であり、その縮重度はすべて1である。この4次元表現４*はSO(6)の共役スピノル表現でもある。

　もう一つの基本的な既約表現としては、(m1，m2)＝(0,1,0)の6次元表現６がある。この表現は2階の反対称テンソル表現である。この表現に属するウェイトベクトルは、

(1/2)α1+α2+(1/2)α3＝(1/2,1/2,-1/2,-1/2)，
(1/2)α1+(1/2)α3＝(1/2,-1/2,1/2,-1/2)，
(1/2)α1+(-1/2)α3＝(-1/2,1/2,1/2,-1/2)，
(-1/2)α1+(1/2)α3＝(1/2,-1/2,-1/2,1/2)，
(-1/2)α1+(-1/2)α3＝(-1/2,1/2,-1/2,1/2)，
(-1/2)α1-α2+(-1/2)α3＝(-1/2,-1/2,1/2,1/2)

であり、その縮重度はすべて1である。この6次元表現６はSO(6)のベクトル表現でもある。

　これら三つの基本的な既約表現の直積を既約表現に分解していくことで、その他の既約表現についても求められるが、それにはSO(5)の場合にも使用したSpeiserの方法を用いる。(m1，m2，m3)の既約表現と(m'1，m'2，m'3)の既約表現の直積を分解した各既約表現の次元は、先のm1ω1＋m2ω2＋m3ω3について上記のNを計算してプロットした図において、m1ω1＋m2ω2＋m3ω3を始点として、(m'1，m'2，m'3)の既約表現の各ウェイトベクトルの終点のNの値に対応する。

　まず、二つの4次元表現４の直積、４×４の既約表現への分解を考える。4次元表現４の最高ウェイトベクトルを始点として、4次元表現４に属するウェイトベクトルを合成する。合成したウェイトベクトルの終点は、

(3/2)α1+α2+(1/2)α3＝2ω1，
(1/2)α1+α2+(1/2)α3＝ω2，
(1/2)α1+(1/2)α3＝ω1-ω2+ω3，
(1/2)α1+(-1/2)α3＝ω1-ω3

であるが、対応するNの値は10，6，0，0である。0は無視すると、 

４×４＝１０＋６
と分解される。

　ここで得られた10次元表現１０に属するウェイトベクトルは、

(3/2)α1+α2+(1/2)α3，
(1/2)α1+α2+(1/2)α3，
(1/2)α1+(1/2)α3，
(1/2)α1-(1/2)α3，
-(1/2)α1+(1/2)α3，
-(1/2)α1-(1/2)α3，
-(1/2)α1-α2-(1/2)α3，
-(1/2)α1+α2+(1/2)α3，
-(1/2)α1-α2+(1/2)α3，
-(1/2)α1-α2-(3/2)α3

であり、その縮重度はすべて1である。この表現は2階の対称テンソル表現である。

　次に、4次元表現４と6次元表現６との直積、４×６の既約表現への分解を考える。6次元表現６の最高ウェイトベクトルを始点として、4次元表現４に属するウェイトベクトルを合成する。合成したウェイトベクトルの終点は、

(5/4)α1+(3/2)α2+(3/4)α3=ω1+ω2，
(1/4)α1+(3/2)α2+(3/4)α3=-ω1+2ω2，
(1/4)α1+(1/2)α2+(3/4)α3=ω3，
(1/4)α1+(1/2)α2+(-1/4)α3=ω2-ω3

であるが、対応するNの値は20，0，4，0であるが、この4次元表現は共役表現４*である。0は無視すると、 

４×６＝２０＋４*
と分解される。

　ここで得られた20次元表現２０に属するウェイトベクトルは、

(5/4)α1+(3/2)α2+(3/4)α3，
(5/4)α1+(1/2)α2+(3/4)α3，
(5/4)α1+(1/2)α2+(-1/4)α3，
(1/4)α1+(3/2)α2+(3/4)α3，
(1/4)α1+(1/2)α2+(3/4)α3，
(1/4)α1+(1/2)α2+(-1/4)α3，
(1/4)α1+(-1/2)α2+(3/4)α3，
(1/4)α1+(-1/2)α2+(-1/4)α3，
(1/4)α1+(-1/2)α2+(-5/4)α3，
(-3/4)α1+(1/2)α2+(3/4)α3，
(-3/4)α1+(1/2)α2+(-1/4)α3，
(-3/4)α1+(-1/2)α2+(3/4)α3，
(-3/4)α1+(-1/2)α2+(-1/4)α3，
(-3/4)α1+(-1/2)α2+(-5/4)α3，
(-3/4)α1+(-3/2)α2+(-1/4)α3，
(-3/4)α1+(-3/2)α2+(-5/4)α3

であり、その縮重度は

(1/4)α1+(1/2)α2+(3/4)α3，
(1/4)α1+(1/2)α2+(-1/4)α3，
(1/4)α1+(-1/2)α2+(-1/4)α3，
(-3/4)α1+(-1/2)α2+(-1/4)α3

が2であり他は1である。

　次に、4次元表現４と4次元表現４*との直積、４×４*の既約表現への分解を考える。4次元表現４*の最高ウェイトベクトルを始点として、4次元表現４に属するウェイトベクトルを合成する。合成したウェイトベクトルの終点は、

α1+α2+α3=ω1+ω3，
α1+α2=ω1+ω2-ω3，
α1=-ω2+2ω3，
0

であるが、対応するNの値は15，0，0，1である。0は無視すると、 

４×４*＝１５＋１
と分解される。

　ここで得られた15次元表現１５に属するウェイトベクトルは、

α1+α2+α3=ω1+ω3，
α1+α2，
α1，
α2+α3，
α2，
α3，
0，
-α3，
-α2，
-α2-α3，
-α1，
-α1-α2，
-α1-α2-α3

であり、その縮重度は零ベクトルが3であり他は1である。この表現の次元数15はSU(4)の生成子の数15と同じであり、ウェイトベクトルはルートベクトルと同一になる。この表現は随伴表現という表現である。この15次元表現１５はSO(6)の2階の反対称テンソル表現でもある。

　次に、4次元表現４と10次元表現１０との直積、４×１０の既約表現への分解を考える。10次元表現１０の最高ウェイトベクトルを始点として、4次元表現４に属するウェイトベクトルを合成する。合成したウェイトベクトルの終点は、

(9/4)α1+(3/2)α2+(3/4)α3=3ω1，
(5/4)α1+(3/2)α2+(3/4)α3=ω1+ω2，
(5/4)α1+(1/2)α2+(3/4)α3=2ω1-ω2+ω3，
(5/4)α1+(1/2)α2+(-1/4)α3=2ω1-ω3

であるが、対応するNの値は20，20，0，0である。0は無視すると、2つの20次元表現に分解されるが、最高ウェイトベクトルが異なるので、最高ウェイトベクトルが3ω1の方の表現を２０Sと添字Sを付けて区別すると、 

４×１０＝２０S＋２０
と分解される。

　ここで得られた20次元表現２０Sに属するウェイトベクトルは、

(9/4)α1+(3/2)α2+(3/4)α3，
(5/4)α1+(3/2)α2+(3/4)α3，
(5/4)α1+(1/2)α2+(3/4)α3，
(5/4)α1+(1/2)α2+(-1/4)α3，
(1/4)α1+(3/2)α2+(3/4)α3，
(1/4)α1+(1/2)α2+(3/4)α3，
(1/4)α1+(1/2)α2+(-1/4)α3，
(1/4)α1+(-1/2)α2+(3/4)α3，
(1/4)α1+(-1/2)α2+(-1/4)α3，
(1/4)α1+(-1/2)α2+(-5/4)α3，
(-3/4)α1+(3/2)α2+(3/4)α3，
(-3/4)α1+(1/2)α2+(3/4)α3，
(-3/4)α1+(1/2)α2+(-1/4)α3，
(-3/4)α1+(-1/2)α2+(3/4)α3，
(-3/4)α1+(-1/2)α2+(-1/4)α3，
(-3/4)α1+(-1/2)α2+(-5/4)α3，
(-3/4)α1+(-3/2)α2+(3/4)α3，
(-3/4)α1+(-3/2)α2+(-1/4)α3，
(-3/4)α1+(-3/2)α2+(-5/4)α3，
(-3/4)α1+(-3/2)α2+(-9/4)α3

であり、その縮重度はすべて1である。この表現は3階の完全対称テンソル表現である。
　次に、6次元表現６と6次元表現６との直積、６×６の既約表現への分解を考える。6次元表現６の最高ウェイトベクトルを始点として、6次元表現６に属するウェイトベクトルを合成する。合成したウェイトベクトルの終点は、

α1+2α2+α3=2ω2，
α1+α2+α3=ω1+ω3，
α1+α2=ω1+ω2-ω3，
α2+α3=-ω1+ω2+ω3，
α2=-ω1+2ω2-ω3，
0

であるが、対応するNの値は20，15，0，0, 0, 1である。0は無視すると、20次元表現と15次元表現と1次元表現に分解されるが、この20次元表現は先の2つの20次元表現のいずれとも最高ウェイトベクトルが異なるので、さらに２０Dと添字Dを付けて区別すると、 

６×６＝２０D＋１５＋１
と分解される。

　ここで得られた20次元表現２０Dに属するウェイトベクトルは、

α1+2α2+α3，
α1+α2+α3，
α1+α2，
α1+α3，
α1，
α1-α3，
α2+α3，
α2，
α3，
0，
-α3，
-α2，
-α2-α3，
-α1+α3，
-α1，
-α1-α3，
-α1-α2，
-α1-α2-α3，
-α1-2α2-α3



であり、その縮重度は零ベクトルが2であり他は1である。この表現はSO(6)での2階の零対角和対称テンソル表現でもある。


・2次のCasimir演算子の固有値

　単純ルートベクトルとカルタン行列の逆行列を用いると、2次のCasimir演算子の固有値は、


　で表され、(j,k)は(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)をとりうるので、

(j,k)
(1,1)(3/4)m1(m1＋2)
(2,1)(1/2)m1(m2＋2)
(3,1)(1/4)m1(m3＋2)
(1,2)(1/2)m2(m1＋2)
(2,2)m2(m2＋2)
(3,2)(1/2)m2(m3＋2)
(1,3)(1/4)m3(m1＋2)
(2,3)(1/2)m3(m2＋2)
(3,3)(3/4)m3(m3＋2)

　より、


　となる。



　(m1，m2，m3)について表現の次元と2次のCasimir元の固有値を計算すると、以下のようになる。

m1m2m3NC2
00010
100415/8
01065/2
001415/8
200109/2
1102039/8
101154
3002063/8
020206


・物理への応用

　SU(3)は、クォークモデルでu,d,sクォーク間で近似的に成り立つ対称性をもとにハドロンを分類する際に用いられますが、SU(4)はさらにcクォークも含める形に拡張してハドロンを分類する際に用いられます。

　SU(3)においては、 

３×３*＝８＋１
　が9種類のメソンの状態に相当し、 

３×３×３＝１０＋８＋８＋１
　の８と１０が、スピン1/2の8種類のバリオンの状態(8重項)とスピン3/2の10種類のバリオンの状態(10重項)に相当しますが、SU(4)においては、 

４×４*＝１５＋１
　が16種類のメソンの状態に相当し、 

４×４×４＝２０S＋２０＋２０＋４*
　の２０と２０Sが、スピン1/2の20種類のバリオンの状態(8重項を拡張したもの)とスピン3/2の20種類のバリオンの状態(10重項を拡張したもの)に相当します(詳しくはこちらのFigure14.1とFigure14.4を参照。)。しかし、cクォークはu,d,sクォークに比べてはるかに重いので、SU(4)対称性は良くありません。

　SU(4)のその他の応用例としては、大統一理論の模型の一つである、パティ・サラムモデルにおいて、クォークのカラー対称性をSU(3)からSU(4)へと拡張し、第4の色荷をレプトンに割り当ててフェルミオンを統一しようとするものがあります。