(3+2)極座標系では、

と表現されますが、線素dsは、

となるので、計量テンソルgijは、

が、得られます。

　ラプラシアンΔ5は、

　で、gijは、gijの逆行列、gはgijの行列式です。


の場合は、



なので、

となります。

　ラプラシアンΔ5の各項は1/r2の次元を共通に持っているので、これをrhf(ζ,θ,φ,χ)の形の関数に演算すれば、rに依存する部分は共通の因子rh-2となります。ラプラス方程式の場合、Δ5ψ=0を満たすので、共通因子rh-2を落とすことができて、

となります。

　さらに、f(ζ,θ,φ,χ)=Z(ζ)Y(θ,φ)X(χ)とすると、




となり、β=2ζとおくと、


であり、さらにt=cosβとおくと、


が得られ、その解は、Jacobiの多項式Pn(α,β)を用いて、

と表すことができます。

　Jacobiの多項式P(k-μ-ν)/2(μ,ν)は、比例定数を除くと、具体的には、
で、低次のものは、
となります。

　以上より、Z(ζ)Y(θ,φ)X(χ)の低次のものは次の表のように与えられます。ｌ+μ≧0、ｌ+μ＝h,h-2,h-4,･･･で、l≧|m|≧0で、μ≠0のときは複号±をとるので、

　h＝0のときは1個、

　h＝1のときは3＋(1＋1)＝5個、

　h＝2のときは(5＋(3＋3)＋(1＋1))＋1=14個、

　h＝3のときは(7＋(5＋5)＋(3＋3)＋(1＋1))＋(3＋(1＋1))=30個、

で、一般に

　1＋(1＋3)＋(1＋3＋5)＋･･･＋(1＋3＋5＋･･･＋2h+1)
　　＝1+4+9+･･･+(h+1)2＝(1/6)(h+1)(h+2)(2h+3)

で、同一のhに対して、(3+1+1)極座標のときと同じく(1/6)(h+1)(h+2)(2h+3)種類の超球面調和関数が対応します。


　x,y,z,u,vについての同次多項式は、一見すると、(3+1+1)極座標のときと異なっているように見えますが、uとvについては実部と虚部に分けて考えると、1次の場合はu±viのかわりにuとvが独立な多項式となり、2次の場合は、(u±vi)2＝(u2−v2)±2uviより、

(1/2)(3(u2＋v2)−2(x2＋y2＋z2))＋(3/2)(u2−v2)＝3u2−x2−y2−z2
(1/2)(3(u2＋v2)−2(x2＋y2＋z2))−(5/2)(u2−v2)＝4v2−x2−y2−z2-u2
　と、(3+1+1)極座標のときと同じ組み合わせの多項式を与えます。

　3次の場合についても、(u±vi)3＝(u2−3v2)u±(3u2−v2)viより、

(1/2)(5(u2＋v2)−2(x2＋y2＋z2))(x±yi)＋(5/2)(u2−v2)(x±yi)＝(5u2−x2−y2−z2)(x±yi)
(1/2)(5(u2＋v2)−2(x2＋y2＋z2))(x±yi)−(7/2)(u2−v2)(x±yi)＝(6v2−x2−y2−z2-u2)(x±yi)

(1/2)(5(u2＋v2)−2(x2＋y2＋z2))z＋(5/2)(u2−v2)z＝(5u2−x2−y2−z2)z
(1/2)(5(u2＋v2)−2(x2＋y2＋z2))z−(7/2)(u2−v2)z＝(6v2−x2−y2−z2-u2)z

(1/4)(3(u2＋v2)−4(x2＋y2＋z2))u＋(1/4)(u2−3v2)u＝(u2−x2−y2−z2)u
(1/4)(3(u2＋v2)−4(x2＋y2＋z2))u−(7/4)(u2−3v2)u＝(6v2−x2−y2−z2-u2)u

(1/4)(3(u2＋v2)−4(x2＋y2＋z2))v＋(3/4)(3u2−v2)v＝(3u2−x2−y2−z2)v
(3/4)(3(u2＋v2)−4(x2＋y2＋z2))v−(7/4)(3u2−v2)v＝(4v2−3(x2＋y2＋z2＋u2))v
　と、(3+1+1)極座標のときと同じ組み合わせの多項式を与えます。

　h＝2では14種類の超球面調和関数が対応しますが、(l,μ)＝(2,0)（緑の白抜き丸）、(l,μ)＝(1,1)（橙と青の白抜き丸）、(l,μ)＝(0,2)（赤と紫の白抜き丸）、(l,μ)＝(0,0)（緑丸）の場合の(m,±μ)をx1x2平面にプロットしたのが下の図です。


　SO(5)の14次元表現が、SO(3)では


１４＝５＋３＋３＋１＋１＋１
　と5次元表現、2つの3次元表現、3つの1次元表現に分解されることがわかります。

　h＝3では30種類の超球面調和関数が対応しますが、(l,μ)＝(3,0)（緑の白抜き丸）、(l,μ)＝(2,1)（黄土と水色の白抜き丸）、(l,μ)＝(1,2)（橙と青の白抜き丸）、(l,μ)＝(0,3)（赤と紫の白抜き丸）、(l,μ)＝(1,0)（緑丸）、(l,μ)＝(0,1)（黄土丸と水色丸）の場合の(m,±μ)をx1x2平面にプロットしたのが下の図です。


　SO(5)の30次元表現が、SO(4)では


３０＝７＋５＋５＋３＋３＋３＋１＋１＋１＋１
　と7次元表現、2つの5次元表現、3つの3次元表現、4つの1次元表現に分解されることがわかります。