3+1次元時空間でのDirac方程式

・Pauli行列と3+1次元時空間でのDiracのγ行列

　3+1次元時空間でのDiracのγ行列は、3つのPauli行列


　と、単位行列


　の直積を用いて


　と表される。Pauli行列は、


　という反交換関係を満たし、


　である。

　具体的な行列表示では、4×4行列に拡張した2組のPauli行列


　を用いて、


　と、定義すると、自由スピノル場のDirac方程式は


　となり、スピノル場は4成分の量となる。添え字μは1から4まで走る。

　上記の自由スピノル場のDirac方程式は、x⁴=itであるから、


　で(添え字kは1から3まで走る。)、ρ₃を左から乗じると、


　で、ハミルトニアンは、Schrödinger方程式が、


　であって、p_k＝−i∂_kであるから


　となる。

　これに対して、電磁場中のスピノル場のDirac方程式は、


　で、A₄=iφであるから、


　で、ρ₃を左から乗じると、


　で、ハミルトニアンは、


　となる。

・3+1次元時空間でのDirac方程式の非相対論的近似

　非相対論的近似では、スピノル場ψは、物質場に対応する解では上2成分が支配的となり下2成分は微小になり、反物質場に対応する解では下2成分が支配的となり上2成分は微小になる。ここで、行列ρ₃と単位行I₂は、上2成分と下2成分を混合させない行列であるのに対して、行列ρ₁と行列ρ₂は、上2成分と下2成分を混合させる行列で、以下、行列ρ₃と単位行列I₂のような行列を偶行列といい、行列ρ₁と行列ρ₂のような行列を奇行列という。

　そこで、ハミルトニアンを偶行列化するユニタリ変換（谷-Foldy-Wouthuysen変換）を探すこととする。

　行列Sに対して、


　であるから、




　とすると、


　であるから、


　である。


　は、




　より、




　である。ここで、


　であるから、


　より、


　とすると、


　である。



　であるから、ハミルトニアンはmについて0次まで偶行列化されたので、さらに、mについて-1次まで偶行列化することを考えると、






　より、


　である。また、


　より、




　である。ここで、


　より、例えば、


　である。したがって、


　であるから、


　である。さらに、


　とすると、


　である。さらに、中心力ポテンシャルを仮定して、


　とすると、


　である(具体的なポテンシャルの形についてはこちら)。