14進法の場合の乗法持続係数
14進法では\(2\times 7_{(14)}=10_{(14)}\)なので、MP≧3のときは、各位の数字の積の素因数分解は、\(2^{i}3^{j}5^{k}11^{l}13^{m}\)、\(3^{i}5^{j}7^{k}11^{l}13^{m}\)の場合に限られ、各位の数字の中に偶数と7が含まれる場合は除かれます。
各位の数字の積の素因数分解が\(2^{i}3^{j}5^{k}11^{l}13^{m}\)となるときのパターンからは、各位の数字の中に
2が2つ以上含まれる場合、2と3が含まれる場合、2と4が含まれる場合、2と5が含まれる場合、2と6が含まれる場合、
3が2つ以上含まれる場合、3と4が含まれる場合、3と6が含まれる場合、3と8が含まれる場合、
4が2つ以上含まれる場合、4と5が含まれる場合、4と6が含まれる場合、4と9が含まれる場合、
5と6が含まれる場合、5と8が含まれる場合、
6が2つ以上含まれる場合、6と8が含まれる場合、8と9が含まれる場合、
5が2つとCが含まれる場合が除かれます。(こちらも参照。)
以上をまとめると、2～6,8～Dの各数字に続く数字は以下のようになります。
\begin{array}{|r|l|}
\hline
2 & 8,9,\mathrm{\small A},\mathrm{\small B},\mathrm{\small C},\mathrm{\small D} \\ \hline
3 & 5,9,\mathrm{\small A},\mathrm{\small B},\mathrm{\small C},\mathrm{\small D} \\ \hline
4 & 8,\mathrm{\small A},\mathrm{\small B},\mathrm{\small C},\mathrm{\small D} \\ \hline
5 & 5,9,\mathrm{\small A},\mathrm{\small B},\mathrm{\small C}^{*},\mathrm{\small D} \\ \hline
6 & 9,\mathrm{\small B},\mathrm{\small C},\mathrm{\small D} \\ \hline
8 & 8,\mathrm{\small A},\mathrm{\small B},\mathrm{\small C},\mathrm{\small D} \\ \hline
9 & 9,\mathrm{\small A},\mathrm{\small B},\mathrm{\small C},\mathrm{\small D} \\ \hline
\mathrm{\small A} & \mathrm{\small A},\mathrm{\small B},\mathrm{\small C},\mathrm{\small D} \\ \hline
\mathrm{\small B} & \mathrm{\small B},\mathrm{\small C},\mathrm{\small D} \\ \hline
\mathrm{\small C} & \mathrm{\small C},\mathrm{\small D} \\ \hline
\mathrm{\small D} & \mathrm{\small D} \\ \hline
\end{array}
(*)5が2つとCが含まれる場合は除く
この結果を用いると、14進法では、MP≧3となる各MPについての最小数は、各位の数字の積の素因数分解が\(2^{i}3^{j}5^{k}11^{l}13^{m}\)となる場合については、
\(x\overset{n_{1}}{\overbrace{8\cdots 8}}\overset{n_{2}}{\overbrace{\mathrm{\small A}\cdots \mathrm{\small A}}}\overset{n_{3}}{\overbrace{\mathrm{\small B}\cdots \mathrm{\small B}}}\overset{n_{4}}{\overbrace{\mathrm{\small C}\cdots \mathrm{\small C}}}\overset{n_{5}}{\overbrace{\mathrm{\small D}\cdots \mathrm{\small D}}}_{(14)},\ x=\emptyset,2,4\)というパターンと、
\(x\overset{n_{1}}{\overbrace{9\cdots 9}}\overset{n_{2}}{\overbrace{\mathrm{\small A}\cdots \mathrm{\small A}}}\overset{n_{3}}{\overbrace{\mathrm{\small B}\cdots \mathrm{\small B}}}\overset{n_{4}}{\overbrace{\mathrm{\small C}\cdots \mathrm{\small C}}}\overset{n_{5}}{\overbrace{\mathrm{\small D}\cdots \mathrm{\small D}}}_{(14)},\ x=\emptyset,2,3,5,35\)というパターンと、
\(x\overset{n_{1}}{\overbrace{5\cdots 5}}\overset{n_{2}}{\overbrace{9\cdots 9}}\overset{n_{3}}{\overbrace{\mathrm{\small A}\cdots \mathrm{\small A}}}\overset{n_{4}}{\overbrace{\mathrm{\small B}\cdots \mathrm{\small B}}}\overset{n_{5}}{\overbrace{\mathrm{\small D}\cdots \mathrm{\small D}}}_{(14)},\ x=\emptyset,3\)というパターンと、
\(6\overset{n_{1}}{\overbrace{9\cdots 9}}\overset{n_{2}}{\overbrace{\mathrm{\small B}\cdots \mathrm{\small B}}}\overset{n_{3}}{\overbrace{\mathrm{\small C}\cdots \mathrm{\small C}}}\overset{n_{4}}{\overbrace{\mathrm{\small D}\cdots \mathrm{\small D}}}_{(14)}\)というパターンに限られることになります。
14進法で各位の数字の積の素因数分解が\(2^{i}3^{j}5^{k}11^{l}13^{m}\)となる場合は、各桁について、素因数5,11,13は高々1つまで含まれるので、k+ℓ+mの値は桁数以下となります。
第1のパターンについては、\(\overset{n_{1}}{\overbrace{8\cdots 8}}\overset{n_{2}}{\overbrace{\mathrm{\small A}\cdots \mathrm{\small A}}}\overset{n_{3}}{\overbrace{\mathrm{\small B}\cdots \mathrm{\small B}}}\overset{n_{4}}{\overbrace{\mathrm{\small C}\cdots \mathrm{\small C}}}\overset{n_{4}}{\overbrace{\mathrm{\small C}\cdots \mathrm{\small C}}}\overset{n_{5}}{\overbrace{\mathrm{\small D}\cdots \mathrm{\small D}}}_{(14)}\)の各位の数字の積の素因数分解は、\(2^{3n_{1}+n_{2}+2n_{4}}3^{n_{4}}5^{n_{2}}11^{n_{3}}13^{n_{5}}\)と表すことができ、n2+n3+n5≦30、n1+n4≦30で探索しました。
第2のパターンについては、\(\overset{n_{1}}{\overbrace{9\cdots 9}}\overset{n_{2}}{\overbrace{\mathrm{\small A}\cdots \mathrm{\small A}}}\overset{n_{3}}{\overbrace{\mathrm{\small B}\cdots \mathrm{\small B}}}\overset{n_{4}}{\overbrace{\mathrm{\small C}\cdots \mathrm{\small C}}}\overset{n_{5}}{\overbrace{\mathrm{\small D}\cdots \mathrm{\small D}}}_{(14)}\)の各位の数字の積の素因数分解は、\(2^{n_{2}+2n_{4}}3^{2n_{1}+n_{4}}5^{n_{2}}11^{n_{3}}13^{n_{5}}\)と表すことができ、n2+n3+n5≦30、n1+n4≦30で探索しました。
第3のパターンについては、\(\overset{n_{1}}{\overbrace{5\cdots 5}}\overset{n_{2}}{\overbrace{9\cdots 9}}\overset{n_{3}}{\overbrace{\mathrm{\small A}\cdots \mathrm{\small A}}}\overset{n_{4}}{\overbrace{\mathrm{\small B}\cdots \mathrm{\small B}}}\overset{n_{5}}{\overbrace{\mathrm{\small D}\cdots \mathrm{\small D}}}_{(14)}\)の各位の数字の積の素因数分解は、\(2^{n_{3}}3^{2n_{2}}5^{n_{1}+n_{3}}7^{n_{1}}11^{n_{4}}13^{n_{5}}\)と表すことができ、n1+n3+n4+n5≦30、n2≦30で探索しました。
第4のパターンについては、\(\overset{n_{1}}{\overbrace{9\cdots 9}}\overset{n_{2}}{\overbrace{\mathrm{\small B}\cdots \mathrm{\small B}}}\overset{n_{3}}{\overbrace{\mathrm{\small C}\cdots \mathrm{\small C}}}\overset{n_{4}}{\overbrace{\mathrm{\small D}\cdots \mathrm{\small D}}}_{(14)}\)の各位の数字の積の素因数分解は、\(2^{2n_{3}}3^{2n_{1}+n{3}}11^{n_{2}}13^{n_{4}}\)と表すことができ、n2+n4≦40、n1+n3≦40で探索しました。
各位の数字の積の素因数分解が\(3^{i}5^{j}7^{k}11^{l}13^{m}\)となるときのパターンからは、3が2つ以上含まれる場合が除かれるので、\(x\overset{n_{1}}{\overbrace{5\cdots 5}}\overset{n_{2}}{\overbrace{7\cdots 7}}\overset{n_{3}}{\overbrace{9\cdots 9}}\overset{n_{4}}{\overbrace{\mathrm{\small B}\cdots \mathrm{\small B}}}\overset{n_{5}}{\overbrace{\mathrm{\small D}\cdots \mathrm{\small D}}}_{(14)},\ x=\emptyset,3\)というパターンに限られることになります。
14進法で各位の数字の積の素因数分解が\(3^{i}5^{j}7^{k}11^{l}13^{m}\)となる場合は、各桁について、素因数5,7,11,13は高々1つまで含まれるので、j+k+ℓ+mの値は桁数以下となります。
このパターンについては、\(\overset{n_{1}}{\overbrace{5\cdots 5}}\overset{n_{2}}{\overbrace{7\cdots 7}}\overset{n_{3}}{\overbrace{9\cdots 9}}\overset{n_{4}}{\overbrace{\mathrm{\small B}\cdots \mathrm{\small B}}}\overset{n_{5}}{\overbrace{\mathrm{\small D}\cdots \mathrm{\small D}}}_{(14)}\)の各位の数字の積の素因数分解は、\(3^{2n_{1}}5^{n_{2}}7^{n_{3}}11^{n_{4}}13^{n_{5}}\)と表すことができ、n2+n3+n4+n55≦30、n1≦30で探索しました。
\begin{array}{|r|r|r|c|}
\hline
\mathrm{MP}&左記の\mathrm{MP}となる最小数&&各位の数字の\\ &(14進法表記)&(10進法表記) & 積の素因数分解 \\ \hline
1 & 10 & 14 & - \\ \hline
2 & 27 & 35 & 2^{1}7^{1} \\ \hline
3 & 3\mathrm{\small C} & 54 & 2^{2}3^{2} \\ \hline
4 & 5\mathrm{\small B} & 81 & 5^{1}11^{1} \\ \hline
5 & 99 & 135 & 3^{4} \\ \hline
6 & 359 & 667 & 3^{3}5^{1} \\ \hline
7 & \mathrm{\small CCC} & 2532 & 2^{6}3^{3} \\ \hline
8 & 359\mathrm{\small AB} & 130883 & 2^{1}3^{3}5^{2}11^{1} \\ \hline
9 & \mathrm{\small CDDDD} & 499407 & 2^{2}3^{1}13^{4} \\ \hline
10 & 3\mathrm{\small ABBDDDD} & 397912927 & 2^{1}3^{1}5^{1}11^{2}13^{4} \\ \hline
11 & 488\mathrm{\small AABCCCDDD} & 18693488093783 & 2^{16}3^{3}5^{2}11^{1}13^{3} \\ \hline
12 & 299999999999\mathrm{\small BBBBCD} & 82092087348200531993 & 2^{3}3^{23}11^{4}13^{1} \\ \hline
13 & 55599999999999999\mathrm{\small AAAABBBBBB} & 3393205899117928970481629894345 & 2^{4}3^{28}5^{7}11^{6} \\ \hline
\end{array}