SO(7)の既約表現の次元


・単純ルートベクトル

　α1＝(1,-1,0)，α2＝(0,1,-1)，α3＝(0,0,1)

・正ルートベクトル

　α1，α2，α3，α1+α2，α2+α3，α1+α2+α3，α2+2α3，α1+α2+2α3，α1+2α2+2α3

　3次元空間内に表示したものはこちらである。

・カルタン行列



・基本ウェイトベクトル

　基本ウェイトベクトルと単純ルートベクトルは、カルタン行列を用いて


　という関係で結ばれ、


　であり、


　であるので、
　ω1＝α1+α2+α3＝(1,0,0)
　ω2＝α1+2α2+2α3＝(1,1,0)
　ω3＝(1/2)α1+α2+(3/2)α3＝(1/2,1/2,1/2)

　3次元空間内に表示したものはこちらである。

・ウェイトベクトル

　上記のω1，ω2，ω3を用いて、m1ω1＋m2ω2＋m3ω3（ただし、m1，m2，m3は整数）と表される。

・既約表現の次元

　Weylの次元公式を用いると、m1ω1＋m2ω2＋m3ω3を最高ウェイトベクトルとする既約表現の次元Nは、


　で表され、(α1，α1)＝(α2，α2)＝2、(α3，α3)＝1、
　kはk1α1＋k2α2＋k3α3が正ルートとなるようなk1，k2のすべての組を走るものとすると、
　(k1，k2，k3)は(1,0,0)，(0,1,0)，(0,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(1,1,1)，(0,1,2)，(1,1,2)，(1,2,2)をとりうるので、

(k1，k2，k3)
(1,0,0)m1＋1
(0,1,0)m2＋1
(0,0,1)m3＋1
(1,1,0)(1/2)(m1＋m2＋2)
(0,1,1)(1/3)(2m2＋m3＋3)
(1,1,1)(1/5)(2m1＋2m2＋m3＋5)
(0,1,2)(1/2)(m2＋m3＋2)
(1,1,2)(1/3)(m1＋m2＋m3＋3)
(1,1,2)(1/4)(m1＋2m2＋m3＋4)

　より、


　となる。

　(m1，m2，m3)について表現の次元と最高ウェイトを計算すると、以下のようになる。

m1m2m3N最高ウェイト
1007α1+α2+α3(1,0,0)
01021α1+2α2+2α3(1,1,0)
0018(1/2)α1+α2+(3/2)α3(1/2,1/2,1/2)
200272α1+2α2+2α3(2,0,0)
00235α1+2α2+3α3(1,1,1)
10148(3/2)α1+2α2+(5/2)α3(3/2,1/2,1/2)
1101052α1+3α2+3α3(2,1,0)
300773α1+3α2+3α3(3,0,0)
011112(3/2)α1+3α2+(7/2)α3(3/2,3/2,1/2)
003112(3/2)α1+3α2+(9/2)α3(3/2,3/2,3/2)
0201682α1+4α2+4α3(2,2,0)
1021892α1+3α2+4α3(2,1,1)

　次元公式を用いて、m1，m2，m3が負の領域についても m1ω1＋m2ω2＋m3ω3について上記のNを計算してプロットしたものがこちらである。

　最も自明な既約表現は、(m1，m2，m3)＝(0,0,0)の場合の1次元表現１である。いうまでもないが、この表現に属するウェイトベクトルは0であり、その縮重度は1である。


　次に、基本的な既約表現としては、(m1，m2，m3)＝(1,0,0)の7次元表現７がある。これはベクトル表現であり、この表現に属するウェイトベクトルは、この表現に属するウェイトベクトルは、(±1,0,0)，(0,±1,0)，(0,0,±1)，(0,0,0)であり、その縮重度はすべて1である。


　もう一つの基本的な既約表現としては、(m1，m2，m3)＝(0,0,1)の8次元表現８がある。これはスピノル表現であり、この表現に属するウェイトベクトルは、(±1/2,±1/2,±1/2)であり、その縮重度はすべて1である。


　基本的な既約表現としては、さらに、(m1，m2，m3)＝(0,1,0)の21次元表現２１がある。この表現は2階の反対称テンソル表現である。この表現に属するウェイトベクトルは、(±1,0,0)，(±1,±1,0)，(0,±1,0)，(0,±1,±1)，(0,0,±1)，(±1,0,±1)，(0,0,0)（3重縮重）である。この表現の次元数21はSO(7)の生成子の数21と同じであり、ウェイトベクトルはルートベクトルと同一になる。この表現は随伴表現という表現である。


　これら三つの基本的な既約表現の直積を既約表現に分解していくことで、その他の既約表現についても求められるが、それにはSO(5)の場合にも使用したSpeiserの方法を用いる。(m1，m2，m3)の既約表現と(m'1，m'2，m'3)の既約表現の直積を分解した各既約表現の次元は、先のm1ω1＋m2ω2＋m3ω3について上記のNを計算してプロットした図において、m1ω1＋m2ω2＋m3ω3を始点として、(m'1，m'2，m'3)の既約表現の各ウェイトベクトルの終点のNの値に対応する。

　まず、二つの7次元表現７の直積、７×７の既約表現への分解を考える。7次元表現７の最高ウェイトベクトルを始点として、7次元表現７に属するウェイトベクトルを合成する。合成したウェイトベクトルの終点は、

2α1+2α2+2α3＝2ω1＝(2,0,0)，
α1+2α2+2α3＝ω2＝(1,1,0)，
α1+α2+2α3＝ω1-ω2+2ω3＝(1,0,1)，
α1+α2+α3＝ω1＝(1,0,0)，
α1＝2ω1-ω2＝(1,-1,0)，
α1+α2＝ω1+ω2-2ω3＝(1,0,-1)，
0

であるが、対応するNの値は27，21，0，7，0，-7，1である。0は無視すると、-7は7と相殺されるので、 

７×７＝２７＋２１＋１
と分解される。

　ここで得られた27次元表現に属するウェイトベクトルは、(±2,0,0)，(±1,0,0)，(±1,±1,0)，(0,±2,0)，(0,±1,0)，(0,±1,±1)，(0,0,±2)，(0,0,±1)，(±1,0,±1)，(0,0,0)（3重縮重）である。


　この27次元表現は、零対角和の2階の対称テンソル表現であり、対角和部分が1次元表現に相当する。

　次に、二つの8次元表現８の直積、８×８の既約表現への分解を考える。8次元表現８の最高ウェイトベクトルを始点として、8次元表現８に属するウェイトベクトルを合成する。合成したウェイトベクトルの終点は、

α1+2α2+3α3＝2ω3＝(1,1,1)，
α1+2α2+2α3＝ω2＝(1,1,0)，
α1+α2+2α3＝ω1-ω2+2ω3＝(1,0,1)，
α1+α2+α3＝ω1＝(1,0,0)，
α2+2α3＝-ω1+2ω3＝(0,1,1)，
α2+α3＝-ω1+ω2＝(0,1,0)，
α3＝-ω2+2ω3＝(0,0,1)，
0

であるが、対応するNの値は35，21，0，7，0，0，0，1である。0は無視すると、 

８×８＝３５＋２１＋７＋１
と分解される。

　ここで得られた35次元表現に属するウェイトベクトルは、(±1,±1,±1)，(±1,±1,0)，(0,±1,±1)，(±1,0,±1)，(±1,0,0)（2重縮重），(0,±1,0)（2重縮重），(0,0,±1)（2重縮重），(0,0,0)（3重縮重）である。


　次に、7次元表現７と8次元表現８の直積、７×８の既約表現への分解を考える。8次元表現８の最高ウェイトベクトルを始点として、7次元表現７に属するウェイトベクトルを合成する。合成したウェイトベクトルの終点は、

(3/2)α1+2α2+(5/2)α3＝ω1+ω3＝(3/2,1/2,1/2)，
(1/2)α1+2α2+(5/2)α3＝-ω1+ω2+ω3＝(1/2,3/2,1/2)，
(1/2)α1+α2+(5/2)α3＝-ω2+3ω3＝(1/2,1/2,3/2)，
(1/2)α1+α2+(3/2)α3＝ω3＝(1/2,1/2,1/2)，
(1/2)α1+α2+(1/2)α3＝ω2-ω3＝(1/2,1/2,-1/2)，
(1/2)α1+(1/2)α3＝ω1-ω2+ω3＝(1/2,-1/2,1/2)，
(-1/2)α1+(1/2)α3＝-ω1+ω3＝(-1/2,1/2,1/2)

であるが、対応するNの値は48，0，0，8，0，0，0である。0は無視すると、 

７×８＝４８＋８
と分解される。

　ここで得られた48次元表現に属するウェイトベクトルは、(±3/2,±1/2,±1/2)，(±1/2,±3/2,±1/2)，(±1/2,±1/2,±3/2)，(±1/2,±1/2,±1/2)（3重縮重）である。


　このようにして、さらに高次の次元の既約表現のウェイトベクトルも得ることができる。 

２１×７＝１０５＋３５＋７
２７×７＝７７＋１０５＋７
２１×８＝１１２＋４８＋８
３５×８＝１１２ｓ＋１１２＋４８＋８
４８×８＝１６８＋３５＋１０５＋２１＋２７＋７
　112次元表現は2種類あるが、(m1，m2，m3)＝(0,0,3)の方を添え字ｓを付けて区別する。

　7次元表現や8次元表現との直積だけでなく、さらに高次の次元の既約表現との直積でも同じ手法を使うことができる。

　例えば、二つの21次元表現の直積、２１×２１の既約表現への分解を考えると、10次元表現の最高ウェイトベクトルは(1,1,0)であるが、(1,1,0)を始点として、21次元表現に属するウェイトベクトル(±1,0,0)，(±1,±1,0)，(0,±1,0)，(0,±1,±1)，(0,0,±1)，(±1,0,±1)，(0,0,0)（3重縮重）を合成する。

　合成したウェイトベクトルの終点は、(2,1,1)，(1,2,1)，(1,1,1)，(1,0,1)，(0,1,1)，(2,2,0)，(2,1,0)，(2,0,0)，(1,2,0)，(1,1,0)（3重縮重），(1,0,0)，(0,2,0)，(0,1,0)，(0,0,0)，(2,1,-1)，(1,2,-1)，(1,1,-1)，(1,0,-1)，(0,1,-1)であるが、対応するNの値は189，0，35，0，0，168，105，27，0，21（3重縮重），7，-21，0，1，-105，0，-21，-7，0である。0は無視して、-105，-21，-7は105，21，7と相殺されるので、残るのは、189，35，168，27，21，1であるので、 

２１×２１＝１８９＋３５＋１６８＋２７＋２１＋１
　と分解される。

　各次元の既約表現のウェイトベクトルをまとめと以下のようになる。

m1m2m3N縮重度
0001
1007
01021
0018
20027
00235
10148
101105(±2,±1,0)，(±1,±2,0)，(±2,0,±1)，
(±1,0,±2)，(0,±2,±1)，(0,±1,±2)，
(±2,0,0)，(0,±2,0)，(0,0,±2)，
(±1,±1,±1)（2重縮重），(±1,±1,0)（2重縮重），
(±1,0,±1)（2重縮重），(0,±1,±1)（2重縮重），
(±1,0,0)（5重縮重），(0,±1,0)（5重縮重），
(0,0,±1)（5重縮重），(0,0,0)（5重縮重）
30077(±3,0,0)，(0,±3,0)，(0,0,±3)，
(±2,±1,0)，(±1,±2,0)，(±2,0,±1)，
(±1,0,±2)，(0,±2,±1)，(0,±1,±2)，
(±2,0,0)，(0,±2,0)，(0,0,±2)，
(±1,±1,±1)，
(±1,±1,0)，(±1,0,±1)，(0,±1,±1)，
(±1,0,0)（3重縮重），(0,±1,0)（3重縮重），
(0,0,±1)（3重縮重），(0,0,0)（3重縮重）
011112(±3/2,±3/2,±1/2)，
(±1/2,±3/2,±3/2)，
(±3/2,±1/2,±3/2)，
(±3/2,±1/2,±1/2)（2重縮重），
(±1/2,±3/2,±1/2)（2重縮重），
(±1/2,±1/2,±3/2)（2重縮重），
(±1/2,±1/2,±1/2)（5重縮重）
003112(±3/2,±3/2,±3/2)，
(±3/2,±3/2,±1/2)，
(±1/2,±3/2,±3/2)，
(±3/2,±1/2,±3/2)，
(±3/2,±1/2,±1/2)（2重縮重），
(±1/2,±3/2,±1/2)（2重縮重），
(±1/2,±1/2,±3/2)（2重縮重），
(±1/2,±1/2,±1/2)（4重縮重）
020168(±2,±2,0)，(±2,0,±2)，(0,±2,±2)，
(±2,±1,±1)，(±1,±2,±1)，(±1,±1,±2)，
(±2,±1,0)，(±1,±2,0)，(±2,0,±1)，
(±1,0,±2)，(0,±2,±1)，(0,±1,±2)，
(±2,0,0)（2重縮重），(0,±2,0)（2重縮重），
(0,0,±2)（2重縮重），(±1,±1,±1)（2重縮重），
(±1,±1,0)（4重縮重），(±1,0,±1)（4重縮重），
(0,±1,±1)（4重縮重），(±1,0,0)（4重縮重），
(0,±1,0)（4重縮重），(0,0,±1)（4重縮重），
(0,0,0)（8重縮重）
102189(±2,±1,±1)，(±1,±2,±1)，(±1,±1,±2)，
(±2,±1,0)，(±1,±2,0)，(±2,0,±1)，
(±1,0,±2)，(0,±2,±1)，(0,±1,±2)，
(±2,0,0)（2重縮重），(0,±2,0)（2重縮重），
(0,0,±2)（2重縮重），(±1,±1,±1)（3重縮重），
(±1,±1,0)（5重縮重），(±1,0,±1)（5重縮重），
(0,±1,±1)（5重縮重），(±1,0,0)（6重縮重），
(0,±1,0)（6重縮重），(0,0,±1)（6重縮重），
(0,0,0)（9重縮重）