ｄ軌道の形

　水素様原子のSchrödinger方程式を解くと、ｄ軌道は5重に縮退していることがわかります。
　量子化学では、5つのｄ軌道をd_xy、d_xz、d_yz、d_x²-y²、d_z²と表記していますが、初めの4つの軌道とd_z²軌道とは一見すると、前者が四つ葉型、後者が亜鈴型と形が異なって見えます(蝶の羽根型とタコ型とも称しているようです)。下の図はFunctionViewで描画したものです(Pov-rayで描画したものはこちら)。

dx2-y2

dz2

　5つのd軌道のうち、初めの3つ、d_xy、d_xz、d_yzは、xy平面、xz平面、yz平面の3つの平面のうち2つの平面を節とする波動関数で、d_x²-y²は、d_xyをz軸まわりに45度回転した形になっています。d_x²-y²があると、d_x²-z²とd_y²-z²があって、ｄ軌道が6つあるように思われますが、実は、d_x²-y²、d_x²-z²、d_y²-z²の角度部分は、(x²-y²)/r²、(x²-z²)/r²、(y²-z²)/r²で、r²=x²+y²+z²なので、3つは線形独立でなく、1つは他の2つの線形結合で表すことができます。そして、(x²-z²)/r²と(y²-z²)/r²の線形結合で、(x²-y²)/r²に対して線形独立なものとして、(2z²-x²-y²)/r²をとると、(2z²-x²-y²)/r²=(3z²-r²)/r²で、これは、d_z²軌道の角度部分にあたります。

　上のｄ軌道は、水素様原子のｄ軌道で、距離rに反比例するクーロン型ポテンシャルの場合のものですが、原子核の殻模型で用いられた等方的3次元調和振動子型ポテンシャル(距離rの2乗に比例する)の場合は、下のようになります。

dx2-y2

dz2

　クーロン型ポテンシャルの場合は、動径方向部分の波動関数はe^-rで減衰するのに対して、調和振動子型ポテンシャルの場合は、動径方向部分の波動関数はe^-r2で減衰するので、調和振動子型ポテンシャルの場合の方が、クーロン型ポテンシャルの場合よりも動径方向に押し潰されたような形になっています。

　3次元空間の5つのｄ軌道を一般的には上の図のように4つの四つ葉型軌道と1つのタコ型軌道で表すことが多いのですが、5つのｄ軌道を全く等価に表現することも可能^*で、その場合には、各ｄ軌道は、二方向に対称に腕が伸びた軌道となり、5つのｄ軌道の5対10本の腕は正反五角柱の頂点方向を向いています。また、ｓ軌道との混成軌道を考えると、6つのｓｄ⁵混成軌道は、正20面体の6本の中心を通る立体対角線の方向に6対12本の腕を伸ばしています。しかし、5次元空間の14個のｄ軌道を全く等価に表現した場合、その14対28本の腕がどう伸びているかであるとか、ｓｄ¹⁴混成軌道の15対30本の腕がどう伸びているかを想像するのは難しそうです。

　4次元以上の空間についてもｄ軌道の形を考えることもでき(こちらを参照)、ｓ軌道との混成軌道を考えることもできます(こちらを参照)。

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* こちらを参照。