sd5混成軌道


　ｓ軌道と5つのｄ軌道を使って、正20面体の中心を通る6本の立体対角線の方向に伸びた6個の等価な混成軌道、ｓｄ5混成軌道をつくることができます。6個の軌道は正20面体群Ｉhに属する対称操作によって互いに移り変わるので、Ｉhの可約な6次元表現Γを張っています。

　正20面体群Ｉhの指標表は、
E 12C5 12(C5)2 20C3 15C2 i 12S10 12(S10)3 20S6 15σ linear,
rotations		 quadratic
Ag 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x2+y2+z2
T1g 3 -2β -2α 0 -1 3 -2α -2β 0 -1 (Rx, Ry, Rz)
T2g 3 -2α -2β 0 -1 3 -2β -2α 0 -1
Gg 4 -1 -1 1 0 4 -1 -1 1 0
Hg 5 0 0 -1 1 5 0 0 -1 1 [2z2-x2-y2, x2-y2, xy, xz, yz]
Au 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1
T1u 3 -2β -2α 0 -1 -3 2α 2β 0 1 (x, y, z)
T2u 3 -2α -2β 0 -1 -3 2β 2α 0 1
Gu 4 -1 -1 1 0 -4 1 1 -1 0
Hu 5 0 0 -1 1 -5 0 0 1 -1
α＝cos(2π/5)，β＝cos(4π/5)


　ですが、正20面体群Ｉhに属する対称操作によって6つの波動関数のうち不変に保たれる個数に着目すると、
E 12C5 12(C5)2 20C3 15C2 i 12S10 12(S10)3 20S6 15σ
Γ 6 1 1 0 2 6 1 1 0 2

　となるので、これから


Γ＝Ag＋Hg
　と簡約されることがわかります。1次元表現Agにしたがって変換するのはｓ軌道で、5次元表現Hgにしたがって変換するのは5つのｄ軌道であることもわかります。ｓｄ5混成軌道の6つの軌道の線形結合でこれらの軌道が得られるので、その逆に、ｓ軌道と5つのｄ軌道の線形結合でｓｄ5混成軌道の6つの軌道をつくることもできます。

　そこで、6つのｓｄ5混成軌道のうちｚ軸まわりの回転で不変になるものを(sd5)z2として、

　とおくと、6つのｓｄ5混成軌道へのｓ軌道の寄与は全て等しいので

　であり、a2+b2=1より

　となります。

　残りの5つの軌道のうちxz平面内を向いているものを(sd5)0とすると、(sd5)z2と(sd5)0は直交しているので、

　という形をしています。そして、c12+c22=4/5となります。

　(sd5)0をz軸周りに2π/5だけ回転して得られたものを、(sd5)1/5とすると、dxzとdx2-y2をz軸周りに2π/5だけ回転して得られた軌道は、dxzとdyz、dx2-y2とdxyの線形結合となります。同様に、(sd5)2/5、(sd5)3/5、(sd5)4/5が得られますが、これら相互の直交性から、

　となり、以上より、(sd5)z2、(sd5)0、(sd5)1/5、(sd5)2/5、(sd5)3/5、(sd5)4/5は、


　となります。

　(sd5)z2を描画すると、次のようになります。

　dz2の寄与が大きいので、dz2に似たタコ型の軌道となります。

　その他の軌道についても描画してみると、(sd5)z2と(sd5)0をy方向から見たものは、次のようになります。


　また、(sd5)0、(sd5)1/5、(sd5)2/5、(sd5)3/5、(sd5)4/5をz方向から見たものは、次のようになります。





　6つの軌道はいずれもdz2に似たタコ型の軌道となります。

　そして、6つの軌道を位相が正の部分だけ重ねて表示したものは、次のようになります。

　ｓｄn混成軌道には、上のようなｓｄ5混成軌道の他に、ｓｄ混成軌道、ｓｄ2混成軌道、ｓｄ3混成軌道、ｓｄ4混成軌道があります(こちらとこちらを参照。)。さらに、ｓｄ5混成軌道には、上のような正20面体型のものの他に、立方8面体型のものもあります(こちらのp.15,Figure.2を参照。)。