(続)「ディアスポラ」5+1次元宇宙についての考察

(続)「ディアスポラ」5+1次元宇宙についての考察

・五次元空間での混成軌道について
　三次元空間では炭素の２ｓ軌道と２ｐ軌道は混成してsp³混成軌道となります。n次元空間では、ｐ軌道はn種類あるので、クーロン力が1/r型のポテンシャルであれば、そのような宇宙では、２ｓ軌道と２ｐ軌道が混成してspⁿ混成軌道となります。しかし、実際には、n次元空間ではクーロン力が1/r^n-2型のポテンシャルとなります(こちらを参照)。
　「ディアスポラ」の原子は調和振動子型のポテンシャルの中でレプトンが運動していますが、調和振動子型のポテンシャルではｓ軌道とｄ軌道が縮退するので、かわりにｓ軌道とｄ軌道の混成軌道を考える必要があります。n次元空間では、ｄ軌道は(n+2)(n-1)/2種類あるので、ｓ軌道とｄ軌道の混成軌道はsd^(n+2)(n-1)/2混成軌道となります。三次元空間の場合はsd⁵混成軌道となり、四次元空間の場合はsd⁹混成軌道となり、五次元空間の場合はsd¹⁴混成軌道となります。

　三次元空間でのsd⁵混成軌道には、正20面体型のものと立方8面体型のものとが知られています。五次元以上の空間には正20面体タイプのポリトープ(三次元空間での多面体、四次元空間での多胞体をｎ次元に一般化したもの)は存在しませんが、立方8面体は、階数3のリー群SU(4)（四次元特殊ユニタリー群）のルート・ベクトルがつくる図形なので、四次元以上のｎ次元空間にも拡張することができて、階数nのリー群SU(n+1)（(n+1)次元特殊ユニタリー群）のルート・ベクトルがつくる図形が、n次元空間でのsd^(n+2)(n-1)/2混成軌道がなす形であると考えられます。四次元空間の場合のsd⁹混成軌道は"Runcinated 5-cell"という図形になり(詳しくはこちらを参照)、五次元空間の場合のsd¹⁴混成軌道は"Stericated 5-simplex"という図形になります(詳しくはこちらを参照)。

・核子内でのレプトンについて
　「ディアスポラ」の原子は核子内にレプトンが埋め込まれていますが、現実の三次元空間でも、レプトンの一種であるミューオンが電子のかわりに軌道を巡っているミュオニック原子で、重い原子核の場合には１ｓ軌道の半径が原子核半径程度となり、ミューオンの原子核内での存在確率が無視できないということがあります(詳しくはこちらを参照)。ミュオニック原子は、軽い原子核の場合はミューオンが原子核外で電子に崩壊し、重い原子核の場合は、原子核内でＷボソンやＺボソンを介してクォークと弱い相互作用をして電子やニュートリノという他の種類のレプトンに転化して、ミュオニック原子は消滅してしまいます。しかし、「ディアスポラ」宇宙では、ＷボソンやＺボソンがなく、レプトンもクォークも一種類しかないので、レプトンが核子内のクォークと相互作用して他の種類のレプトンに転化することも、レプトンが別の種類のレプトンに崩壊することもないので、核子内でもレプトンは安定して存在できます。

　現実の三次元空間では、ミューオンに限らず、正の電荷を持った原子核は負の荷電粒子との束縛状態をつくります。ミューオンのほかには、負のπ中間子、負のＫ中間子がそのような束縛状態をつくることが知られていますが、電子やミューオンがフェルミオンなのに対して、これらの粒子はボソンなのでパウリ排他律が効かず、最低エネルギー準位に何個でも入ってしまいます。電子やミューオンと同じくタウ粒子という素粒子もレプトンで、タウ粒子も原子核との束縛状態をつくると予想されますが、未発見です。タウ粒子の質量は陽子の約2倍、ミューオンの約20倍なので、タウ粒子の軌道半径はミュオニック原子の場合よりもさらに小さく、「ディアスポラ」の原子に近似した状態になっていると思われます。

　ところで、ミュオニック原子といえば、ミューオン触媒核融合という現象があります。ミューオンの１ｓ軌道の半径は電子の１ｓ軌道の半径の約200分の1まで接近しており、水素およびその同位体の場合、原子核の電荷が遮蔽されて中性になったように見えます。ミューオンを捕獲していない他の水素同位体はこのような「ミュオニック水素」に対して１ｓ軌道半径程度にまで接近することができるようになり、このように接近した水素原子核同士は高い確率で核融合反応を起こしてヘリウム原子核を生成します。「ディアスポラ」宇宙でも軽い原子核の場合はこのような核融合反応が起きて、例えば「ハイドロン」2原子が接近して「重水素のようなもの」をつくったりしているのでしょう。

　ミュオニック原子の場合は原子核の外側ではクーロン力が1/r型のポテンシャルなので、原子核を点電荷と仮定した場合と同じく無限個の束縛状態がありますが、「ディアスポラ」宇宙の場合にはクーロン力が1/r³型と急激に減衰するので、束縛状態が有限個しかありません。物理定数の組み合わせによっては束縛状態が1個しかない場合とか、束縛状態が全くないという場合もあります。また、レプトンの埋まりかたも物理定数の組み合わせによって異なっていて、核子内部にレプトンがほとんど閉じ込められている場合もあれば、核子の外に大きく広がっている場合もあります(詳しくはこちらを参照)。「ディアスポラ」宇宙の場合には、価レプトンの軌道が核子表面近傍にありますが、価レプトンがほとんど核子内部に閉じ込められている場合は化学結合が起こりえず、価レプトンの軌道が核子表面から大きく離れている場合には、例えば「ハイドロン」2原子が接近して「重水素のようなもの」になるのではなく、そのまま「ハイドロン」分子になる、ということになります。

・「ディアスポラ」宇宙の核子と原子核について
　「ディアスポラ」宇宙ではクォークが一種類しかないので、核子は同一種類のクォークが3個集まってできています。現実世界でも同一種類のクォークが3個集まってできたバリオンがあり、uクォーク3個、またはdクォーク3個が集まってできたバリオンでは Δ粒子のうちで電荷+2と電荷-1のもの(Δ⁺⁺とΔ^-)があり、sクォーク3個が集まってできたバリオンではΩ^-粒子というものがあります。作品中ではレプトンの電荷を負としているのでこれを-1とすると、核子の電荷は+1でクォークの電荷は+1/3となり、ディアスポラ宇宙のクォークは現実世界のdクォークに相当し、核子はΔ⁺に相当するものといえるでしょう。

　ところで、このΔ粒子ですが、陽子や中性子がスピン1/2であるのに対して、Δ粒子はスピン3/2の粒子です。これはスピン1/2のクォーク3個がスピンに関して完全対称に組んだ状態だからです。スピン1/2の状態は、SO(3)あるいはSU(2)ではスピノル表現である2次元表現２に相当しますが、2つの2次元表現２の直積は対称な組としての3次元表現３と反対称な組としての1次元表現１に分解され、前者がスピン1の状態、後者がスピン0の状態に相当します。さらに、3次元表現３と2次元表現２の直積は4次元表現４と2次元表現２に分解されますが、この4次元表現４がスピン3/2の状態に相当します。つまり、


２×２＝３＋１
３×２＝４＋２

　となります。スピン3/2の状態には4種類のスピン状態がありますが、もし、原子核が陽子・中性子のかわりにΔ粒子でできていたら、最初の閉殻状態は陽子・中性子2個ずつでできたα粒子のかわりに、4種類の荷電状態×4種類のスピン状態で16個のΔ粒子でできた原子核となっていたでしょう。

　「ディアスポラ」宇宙は五次元空間なのでクォークはSO(5)のスピノル表現である4次元表現４に対応して四つのスピン状態をもつと考えられます。そして、核子はΔ粒子と同じくクォーク3個がスピンに関して完全対称に組んだ状態であると考えられます。SO(5)では、2つの2次元表現４の直積は対称な組としての10次元表現１０と反対称な組としての5次元表現５と1次元表現１に分解され、さらに、10次元表現１０と4次元表現４の直積は20次元表現２０と16次元表現１６と4次元表現４に分解されますが、この20次元表現２０がクォーク3個がスピンに関して完全対称に組んだ状態に相当します。つまり、


４×４＝１０＋５＋１
１０×４＝２０＋１６＋４

　となり、核子は20個のスピン状態をもつと考えられます。「ディアスポラ」宇宙での原子核は、核子は一種類しかありませんが、スピン状態が20種類あるので、核子20個が集まってできた原子20の原子核が最初の閉殻状態でα粒子に相当する役割を果たします。次の閉殻状態は5種類のp軌道を埋めることになるので、原子120の原子核となります。

　現実の宇宙ではα粒子は特別に安定な原子核で、それ故に質量数5と8の核である⁵He、⁵Li、⁸Beといった核種は不安定化していますが、「ディアスポラ」宇宙では、原子20の原子核が特別に安定であるかわりに、原子21の原子核や原子40の原子核といった核種が不安定化しているかもしれません。

・「ディアスポラ」宇宙での元素合成について
　「私たちの宇宙」では、宇宙初期の元素合成は、陽子と中性子が衝突して重水素(²H)が作られることから始まりました。しかし、初期宇宙の温度は一億度以上あり、重水素は壊れやすく、なかなか生成されませんでした。宇宙の温度が一億度以下となって十分な重水素が生成されると、二体反応の積み重ねで三重水素(³H)、ヘリウム3(³He)、ヘリウム4(⁴He)が生成されました。しかし、これらの反応は星の中心部で起こる熱核融合反応とは異なり、数密度が小さいために、クーロン障壁の大きい重い原子核同士の核融合反応率は極めて小さく、さらに、質量数5と8の安定な核種が存在しないことが、質量数がさらに大きい元素を生成する大きな妨げとなり、原子核合成はこれ以上進まず、ごく少数のリチウム7(⁷Li)やベリリウム7(⁷Be)が作られたのみでした。これより重い元素は、後に形成された星の内部での熱核融合反応で生成され、重い星の最終段階である超新星で、星間空間へ重元素が放出されました。超新星には、核燃焼暴走型超新星(タイプIa)と重力崩壊型超新星(タイプII、Ib、Ic)という2つのタイプがあります。

　重力崩壊型超新星は、太陽の8倍以上の質量をもつ星の進化の最終段階で、鉄の原子核の光分解や陽子の電子捕獲のために電子の縮退圧が弱まるため、不安定となって重力崩壊が起こることで始まります。中心部の密度が核子と核子が重なり合う寸前の核密度に達すると、中性子の縮退圧のためにこれ以上は収縮することができないので、急激な衝撃とともに中心部の収縮が停止することになります。この時、衝撃波が発生し、星の外に向かって伝搬していきます。しかしその衝撃波は弱く、いったん停滞してしまいますが、この後、中心部から放射される電子捕獲反応で発生した膨大なニュートリノによって衝撃波後方の物質が加熱され、その結果、衝撃波はエネルギーを取り戻して再び広がり始め、ついには星の外層部を吹き飛ばしてしまいます。

　核燃焼暴走型超新星は、白色矮星が太陽の1.4倍の質量(チャンドラセカール限界)を超えるに至ると起こります。チャンドラセカール限界を超えると、白色矮星は自らの質量による重力を電子の縮退圧で支えきれないために崩壊を始め、核融合が開始される温度を超えて暴走核融合反応が起こり、この熱核燃焼からのエネルギーの放出が、星の重力結合エネルギーよりも大きいので、星全体が吹き飛んでしまいます。このタイプの超新星が形成される可能性として、白色矮星と赤色巨星の連星系で赤色巨星から白色矮星に質量転移が起こり、白色矮星の質量がチャンドラセカール限界を超えるという場合と、2つの白色矮星が融合し、合計質量がチャンドラセカール限界を超えるという場合があります。

　近年の宇宙論研究によって、「私たちの宇宙」とは別に、物理法則が違う無数の宇宙が存在する可能性が示されていますが、そのような物理法則が違う宇宙のひとつとして、弱い力がない「ウィークレスな宇宙(weakless universe)」が想定されています。「ウィークレスな宇宙」では、陽子の電子捕獲も、それに伴うニュートリノの発生も起きないために、重力崩壊型超新星は起こりえず、重い星はただ単に重力崩壊するのみで重元素は放出されません。しかし、核燃焼暴走型超新星は起こりえます。ただし、核燃焼暴走型超新星では鉄より重い原子核は生成されないので、周期律表は鉄までで終わっています。

　「ディアスポラ」宇宙では、弱い力がないので、「ウィークレスな宇宙」と同じく重力崩壊型超新星は起こりえませんが、さらに、逆三乗型の重力ポテンシャルでは、安定した連星系が存在し得ないので(こちらを参照)、白色矮星と赤色巨星の連星系での質量転移も、2つの白色矮星からなる連星系での白色矮星の融合も起こりえず、核燃焼暴走型超新星は、互いに独立して運動する2つの白色矮星が衝突合体するというきわめて稀な場合でしか起こりえないことになります。このように、「ディアスポラ」宇宙では、超新星はきわめて稀な事象であるので、超新星による重元素の生成はほとんど進まないことになります。しかし、「ディアスポラ」宇宙でも、原子27をはじめ、重元素が生成されているので、超新星による元素合成以外の機構で重元素が生成されたと考えられます。

　「ディアスポラ」宇宙の原子は、原子核にレプトンが埋め込まれた構造となっているので、原子核の電荷はほとんど中和されており、宇宙初期の元素合成で、「私たちの宇宙」では重い原子核同士の核融合反応の際に障害となったクーロン障壁は障害とはならず、原子核は１ｓ軌道半径程度にまで接近することができ、ミューオン触媒核融合に似た核融合反応で、より重い原子核が生成されたのかもしれません。そして、原子21の原子核や原子40の原子核といった核種が不安定化していたとしても、その間の原子22～39の原子核が十分に生成されれば、原子41以降の原子核も生成されたかもしれません。「ディアスポラ」宇宙では、原初の不均質性がフラクタルな分布で質量分布は広い範囲にわたったとされているので、物質が最も濃厚なところは重力崩壊が進んでブラックホールとなり、最も希薄なところは元素合成がなかなか進まずに「ハイドロン」のみとなり、その間の濃度では重元素の合成が様々な程度まで進んだかもしれません。

・「ディアスポラ」宇宙での大統一理論について
　「ディアスポラ」宇宙では、ＷボソンやＺボソンがなく、レプトンもクォークも一種類しかありませんでしたが、もし、このような世界で電磁力と強い力との統一（弱い力はないので）を考えたとすると、電磁力のゲージ対称性を表わすU(1)（一次元ユニタリー群）と強い力のゲージ対称性を表わすSU(3)を部分群として含む群で表されるゲージ対称性を有することになります。そのような群として最小のものが、SU(4)で(こちらを参照)、現実世界の大統一理論においても、パティ・サラムモデルにおいて、SU(4)×SU(2)×SU(2)という形で用いられたことがあります。このうちのSU(4)が、クォークのカラー対称性をSU(3)からSU(4)へと拡張し、第4の「色荷」をレプトンに割り当てたもので、残りのSU(2)×SU(2)が弱い力のフレーバー対称性に対応する部分です。「ディアスポラ」宇宙での大統一理論の候補となるSU(4)はパティ・サラムモデルからフレーバー対称性に対応する部分を除いたものであるといえます。

　現実世界の大統一理論ではSU(5)やSO(10)（十次元回転群）の対称性を有するモデルも考えられています(こちらを参照)。これらのモデルが陽子崩壊を予言しているのに対して、パティ・サラムモデルでは陽子崩壊を予言していません。大統一理論では、クォークとレプトンの相互転換を許すＸボソンの存在を予言していて、SU(5)では例えば

u→e⁺＋X^-1/3
d＋X^-1/3→u

または

d→ν_e＋X^-1/3
u＋X^-1/3→d

という反応を介して陽子(uud)は陽電子(e⁺)と中性π中間子(uu)、または電子型反ニュートリノ(ν_e)と正のπ中間子(ud)に崩壊しますが、このとき、Ｘボソンを介してクォークと反クォークの相互転換が起きていて、バリオン数は非保存となります。これに対して、パティ・サラムモデルではクォークと反クォークの相互転換を引き起こす反応が許されていないので、陽子崩壊を予言しないことになります。

　宇宙創成時には物質と反物質が等量存在していてバリオン数が０の状態から始まって、その後バリオン数保存を破る反応で陽子などのバリオンが生成されたとされています。SU(5)モデルにおいては、例えばX^-1/3ボソンは

X^-1/3→e^-＋u
X^-1/3→ν_e＋d
X^-1/3→d＋u

と3通りの崩壊のしかたがあり、その反粒子X^+1/3ボソンも

X^+1/3→e⁺＋u
X^+1/3→ν_e＋d
X^+1/3→d＋u

と3通りの崩壊のしかたがあります。崩壊後の3つの状態はバリオン数が異なっていますが、3通りの崩壊への分岐比が正粒子と反粒子で異なっていれば、Ｘボソンが対生成した後に、一方が2つのクォークに、他方がクォークとレプトンに崩壊することでバリオンが生成されます。ディアスポラの作品中では、電子・陽電子対がワームホールで説明され、電子・陽子の組み合わせが、ワームホールの一端が3つに分岐してクォークとなった対称性の低いワームホールとして説明されていますが、Ｘボソン対が生成されてワームホールが生成され、その後Ｘボソン対がバリオン数保存を破る崩壊をしたとすると、ワームホールの形状は両端が2つに分岐した形になると予想されるので、その後さらにレプトンが離れていけば、一端が3つに分岐したワームホールとなります(こちらを参照)。

　「ディアスポラ」宇宙でも、SU(4)ではバリオン数が保存する反応しか起こりえませんが、SU(4)の次に小さい群であるSO(7)（七次元回転群）であれば、クォークと反クォークの相互転換を引き起こす反応が起こりうるので、バリオン数０の状態から始まってもバリオンを生成することができます(こちらを参照)。ただし、「ディアスポラ」宇宙の超大統一理論であるコズチ理論が5+1次元宇宙におけるSU(4)対称性やSO(7)対称性を予言しているのか否かは不明ですが。