d次元調和振動子ポテンシャルの固有状態
・一次元調和振動子ポテンシャルの場合
一次元調和振動子についての定常状態のSchrödinger方程式は、以下のように書けます。
変数変換
をすると、上のSchrödinger方程式は
と変形され、λ＝2E/ħωとおくと、
となり、この方程式は解析的に解くことができて、ξ→±∞で解が有界となるのはλ＝2n+1，n＝0,1,2,…のときで、その解は規格化定数を除くとエルミート多項式Hnを使って以下のように表されます。
エルミート多項式Hnの低次のものは次のように表されます。
そして、エネルギー固有値は次のようになります。
・等方的二次元調和振動子ポテンシャルの場合
同様に、等方的二次元調和振動子の定常状態のSchrödinger方程式は、以下のように書けます。
ただし、r2=x2+y2です。変数変換
をすると、上のSchrödinger方程式は
と変形され、λ＝2E/ħωとおき、
として、
で割ると、
となるので、変数分離が可能で、λ＝λ1＋λ2とすると、
となり、この方程式は解析的に解くことができて、ξ,η→±∞で解が有界となるのはλ1＝2nx+1，λ2＝2ny+1，nx,ny＝0,1,2,…のときで、その解は規格化定数を除くとエルミート多項式Hnを使って以下のように表されます。
そして、エネルギー固有値は次のようになります。
Nを二方向の量子数(nx,ny)の和とすると、(N+1)番目のエネルギー準位はN重に縮退しています。
・等方的d次元調和振動子ポテンシャルの場合
同様に、一般に等方的d次元調和振動子の場合、その解は、規格化定数を除くとエルミート多項式Hnを使って以下のように表されます。
そして、エネルギー固有値は次のようになります。
Nをｄ方向の量子数(n1,n2,…,nd)の和とすると、(N+1)番目のエネルギー準位はN+d-1CN重に縮退しています。
以上は直交座標系で等方的d次元調和振動子の定常状態のSchrödinger方程式を解いた場合ですが、極座標系でも等方的d次元調和振動子の定常状態のSchrödinger方程式を解くことができます。
・等方的三次元調和振動子ポテンシャルの場合
原子核の殻模型では、等方的三次元調和振動子型のポテンシャルが用いられていますが、極座標系での等方的三次元調和振動子の定常状態のSchrödinger方程式は、以下のように書けます。
変数変換
をすると、上のSchrödinger方程式は
と変形され、λ＝2E/ħωとおくと、
となり、
という演算子を定義し、ψ＝Ｒ(ρ)Ｙ(θ,φ)という解を仮定し、Ｙ(θ,φ)が球面調和関数Ｙlm(θ,φ)であるとすると、
と変数分離できて、Ｒ(ρ)についての方程式は、ｘ＝ρ2と変数変換すると、
で、この方程式は解析的に解くことができて、ρ→∞で解が有界となるのは
がn,l＝0,1,2,…のときで、その解は規格化定数を除くと以下のように表されます。
そして、エネルギー固有値は次のようになります。このことから、2n+lが等しい状態はエネルギー的に縮退していることがわかります。
Snαは、ソニン(Sonine)の多項式といって、
という微分方程式の解で、その低次のものは次のように表されます。
(n,l)の低次のものについて具体的な解の形を記します。
(n,l)＝(0,0)（０ｓ状態）の解は、
で、これは、直交座標系で解いた場合の(nx,ny,nz)＝(0,0,0)の場合と一致します。
(n,l)＝(0,1)（０ｐ状態）の解は、
で、これは、直交座標系で解いた場合の(nx,ny,nz)＝(1,0,0)，(0,1,0)，(0,0,1)の場合と一致します。
(n,l)＝(0,2)（０ｄ状態）の解は、
(n,l)＝(1,0)（１ｓ状態）の解は、
で、これらはエネルギー的に縮退しています。3番目のエネルギー準位は5+1=6重に縮退しています。
(n,l)＝(0,3)（０ｆ状態）の解は、
(n,l)＝(1,1)（１ｐ状態）の解は、
で、これらはエネルギー的に縮退しています。4番目のエネルギー準位は7+3=10重に縮退しています。
・等方的四次元調和振動子ポテンシャルの場合
極座標系での等方的四次元調和振動子の定常状態のSchrödinger方程式は、以下のように書けます。
四次元空間では、極座標の表現方法が2通りあるのですが、そのうちで、
.png)
という表現方法をとりました(詳しくはこちらを参照。)。
変数変換
をすると、上のSchrödinger方程式は
と変形され、λ＝2E/ħωとおいて、
という演算子を定義し、ψ＝Ｒ(ρ)Ｚ(ζ,θ,φ)という解を仮定し、Ｚ(ζ,θ,φ)を下記の四次元超球面調和関数Ｚklm(ζ,θ,φ)とすると(Ｃk1(x)はGegenbauer多項式)、
以下のように、
と変数分離できて、Ｒ(ρ)についての方程式は、ｘ＝ρ2と変数変換すると、
で、この方程式は解析的に解くことができて、ρ→∞で解が有界となるのはλ＝4n+2k+4がn,k＝0,1,2,…のときで、その解は規格化定数を除くとソニン(Sonine)の多項式Snαを用いて、以下のように表されます。
そして、エネルギー固有値は次のようになります。このことから、2n+kが等しい状態はエネルギー的に縮退していることがわかります。
(n,k)の低次のものについて具体的な解の形を記します。
(n,k)＝(0,0)（０ｓ状態）の解は、
で、これは、直交座標系で解いた場合の(nx,ny,nz,nu)＝(0,0,0,0)の場合と一致します。
(n,k)＝(0,1)（０ｐ状態）の解は、
で、これは、直交座標系で解いた場合の(nx,ny,nz,nu)＝(1,0,0,0)，(0,1,0,0)，(0,0,1,0)，(0,0,0,1)の場合と一致します。
(n,k)＝(0,2)（０ｄ状態）の解は、0≦|m|≦l≦2で9通りあって(詳しくはこちらを参照。)、
(n,k)＝(1,0)（１ｓ状態）の解は、
で、これらはエネルギー的に縮退しています。3番目のエネルギー準位は9+1=10重に縮退しています。
(n,k)＝(0,3)（０ｆ状態）の解は、0≦|m|≦l≦3で16通りあって、
(n,k)＝(1,1)（１ｐ状態）の解は、
で、これらはエネルギー的に縮退しています。4番目のエネルギー準位は16+4=20重に縮退しています。
・等方的五次元調和振動子ポテンシャルの場合
極座標系での等方的五次元調和振動子の定常状態のSchrödinger方程式は、以下のように書けます。
五次元空間では、極座標の表現方法が3通りあるのですが、そのうちで、
.png)
という表現方法をとりました(詳しくはこちらを参照。)。
変数変換
をすると、上のSchrödinger方程式は
と変形され、λ＝2E/ħωとおいて、
という演算子を定義し、ψ＝Ｒ(ρ)Ｚ(ζ,η,θ,φ)という解を仮定し、Ｚ(ζ,η,θ,φ)を下記の五次元超球面調和関数Ｚklm(ζ,η,θ,φ)とすると(Ｃh3/2(x)はGegenbauer多項式)、
以下のように、
と変数分離できて、Ｒ(ρ)についての方程式は、ｘ＝ρ2と変数変換すると、
で、この方程式は解析的に解くことができて、ρ→∞で解が有界となるのはλ＝4n+2h+5がn,h＝0,1,2,…のときで、その解は規格化定数を除くとソニン(Sonine)の多項式Snαを用いて、以下のように表されます。
そして、エネルギー固有値は次のようになります。このことから、2n+hが等しい状態はエネルギー的に縮退していることがわかります。
(n,h)の低次のものについて具体的な解の形を記します。
(n,h)＝(0,0)（０ｓ状態）の解は、
で、これは、直交座標系で解いた場合の(nx,ny,nz,nu,nv)＝(0,0,0,0,0)の場合と一致します。
(n,h)＝(0,1)（０ｐ状態）の解は、
で、これは、直交座標系で解いた場合の(nx,ny,nz,nu,nv)＝(1,0,0,0,0)，(0,1,0,0,0)，(0,0,1,0,0)，(0,0,0,1,0)，(0,0,0,0,1)の場合と一致します。
(n,h)＝(0,2)（０ｄ状態）の解は、0≦|m|≦l≦k≦2で14通りあって(詳しくはこちらを参照。)、
(n,h)＝(1,0)（１ｓ状態）の解は、
で、これらはエネルギー的に縮退しています。3番目のエネルギー準位は14+1=15重に縮退しています。
(n,h)＝(0,3)（０ｆ状態）の解は、0≦|m|≦l≦k≦3で30通りあって、
(n,h)＝(1,1)（１ｐ状態）の解は、
で、これらはエネルギー的に縮退しています。4番目のエネルギー準位は30+5=35重に縮退しています。