(3+1+1)極座標系では、

と表現されますが、線素dsは、

となるので、計量テンソルg_ijは、

が、得られます。

　ラプラシアンΔ₅は、

　で、g^ijは、g_ijの逆行列、gはg_ijの行列式です。


の場合は、



なので、

となります。

　ラプラシアンΔ₅の各項は1/r²の次元を共通に持っているので、これをr^hZ(ζ)H(η,θ,φ)の形の関数(H(η,θ,φ)は(3+1)極座標系の超球面調和関数)に演算すれば、rに依存する部分は共通の因子r^h-2となります。ラプラス方程式の場合、Δ₅ψ=0を満たすので、共通因子r^h-2を落とすことができて、さらに、H(η,θ,φ)は(3+1)極座標系の超球面調和関数なので、


となります。

　t=cosζとおくと、


が得られ、特にk=0のときは、
で、その解は、Gegenbauerの多項式で、
と表すことができます(P_n^(α,β)はJacobiの多項式)。

　k≠0のときは、
とおくと、
で、k≠0のときも
の解は、Gegenbauerの多項式の微分を用いた
で表すことができます。

　C_n^3/2(t)は、比例定数を除くと、具体的には、
で、低次のものは、
となります。

　以上より、Z(ζ)H(η,θ,φ)の低次のものは次の表のように与えられます。h≧k≧l≧|m|≧0なので、同一のhに対して、1+4+9+･･･+(h+1)²＝(1/6)(h+1)(h+2)(2h+3)種類の超球面調和関数が対応します。これはSO(5)の(m₁，m₂)＝(h,0)の表現の次元の数と一致します。