((2+2+1)極座標系では、
.png)
と表現されますが、線素dsは、
.png)
となるので、計量テンソルgijは、
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が、得られます。
ラプラシアンΔ5は、
で、gijは、gijの逆行列、gはgijの行列式です。
の場合は、
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なので、
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となります。
ラプラシアンΔ5の各項は1/r2の次元を共通に持っているので、これをrhZ(ζ)H(η,φ,χ)の形の関数(H(η,φ,χ)は(2+2)極座標系の超球面調和関数)に演算すれば、rに依存する部分は共通の因子rh-2となります。ラプラス方程式の場合、Δ5ψ=0を満たすので、共通因子rh-2を落とすことができて、さらに、H(η,φ,χ)は(2+2)極座標系の超球面調和関数なので、
D-hyperspherical-harmonic-eqh.png)
D-angular.png)
となります。
の解は、(3+1+1)極座標系の超球面調和関数の場合と同様にGegenbauerの多項式で、
で表すことができ、H(η,φ,χ)は(2+2)極座標系の超球面調和関数で、
D-eta.png)
で表すことができます。
以上より、Z(ζ)H(η,φ,χ)の低次のものは次の表のように与えられます。h≧k≧0なので、同一のhに対して、(3+1+1)極座標のときと同じく1+4+9+･･･+(h+1)2＝(1/6)(h+1)(h+2)(2h+3)種類の超球面調和関数が対応します。
D-hyperspherical-harmonic-table.png)
h＝2では14種類の超球面調和関数が対応しますが、k＝2（緑の白抜き丸）、k=1（赤の白抜き丸）、k＝0（緑丸）の場合の(μ，ν)をx1x2平面にプロットしたのが下の図です。
SO(5)の14次元表現が、SO(4)では
１４＝９＋４＋１
と9次元表現、4次元表現、1次元表現に分解されることがわかります。
h＝3では30種類の超球面調和関数が対応しますが、k＝3（緑の白抜き丸）、k=2（赤の白抜き丸）、k＝1（緑丸）、k＝0（赤丸）の場合の(μ，ν)をx1x2平面にプロットしたのが下の図です。
SO(5)の30次元表現が、SO(4)では
３０＝１６＋９＋４＋１
と16次元表現、9次元表現、4次元表現、1次元表現に分解されることがわかります。