ミュオニック水素様原子等のエネルギー固有値

・ミュオニック水素様原子のエネルギー固有値

　ミュオニック水素とは、水素原子の電子をミューオンに置き換えたものですが、ミュオニック水素様原子とは原子核と電子1個の束縛状態である水素様原子の電子をミューオンに置き換えたものです。

　ミュオニック水素様原子のポテンシャルを、原子核外では1/r型のクーロン・ポテンシャル、原子核内では調和振動子型と仮定すると、ポテンシャルは球対称なので、その解をψ＝Ｒ(ｒ)Ｙ(θ,φ)（Ｙ(θ,φ)は球面調和関数Ｙ_lm(θ,φ)）と表すことができて、動径方向の波動関数Ｒ(ｒ)は、Schrödinger方程式を用いて、

という方程式の解となります。ただし、r₀は原子核の半径、μはミューオンの換算質量、Zは原子番号です。

　原子核外での動径方向の波動関数Ｒ(ｒ)は、

として、ρ＝αｒとすると、

として、

となり、Ｒ＝ρ^-1ｆとおくと、

となって、ρ→∞でｆ→0となる解は、ｆは原子核外での解なのでρ＝0での収束・発散を問わないことにすると、ｆはWhittaker関数を用いて、

と表されます。ただし、

で、Whittaker関数は、第2種Kummer関数Ｕを用いて、

と表されます。kが水素様原子の「主量子数」nに相当します。

　原子核内での動径方向の波動関数Ｒ(r)は、

として、

となり、

とすると、

となります。さらに、ｘ＝ξ²、Ｒ＝ｅ^-x/2ｘ^1/2ｇとおくと、

で、ｇはソニン(Sonine)の微分方程式

のx＝0で有界な解で、

と表され、κが等方的三次元調和振動子の「主量子数」nに相当します。そして、

とおくと、ξ＝βρ、ｘ＝(αβｒ)²と表されます。

　これらの結果を用いて、原子核外、原子核内の動径方向の波動関数Ｒ_ext(ｒ)、Ｒ_int(ｒ)は、


であり、波動関数の連続性および微分可能性から原子核半径ｒ＝ｒ₀で、

を満たすとすると、エネルギー固有値を求めることができます。

　以下の計算で用いる物理定数については、

プランク定数ｈ	6.62607×10-34J･s
光速度ｃ	2.99792458×108m/s
電気素量ｅ	1.602176565×10-19C
	4.80320425×10-10statC ※
原子質量単位ｕ	931.494061MeV
ミューオンの質量ｍμ	105.658MeV

※1 statC = 1 dyn^1/2cm = 1/(2.99792458×10⁹)C

　としました。また、原子核半径は1.3×A^1/3(fm)(A:質量数)としました。

　これらを用いて、⁴⁸Ti（Z＝22）、⁶³Cu（Z＝29）、¹²¹Sb（Z＝51）、²⁰⁸Pb（Z＝82）の4つの核種についてミュオニック水素様原子のエネルギー固有値Eを求めたのが以下の結果です。ただし、4つの核種の質量は以下のようになります。

48Ti（Z＝22）	47.948u
63Cu（Z＝29）	62.930u
121Sb（Z＝51）	120.904u
208Pb（Z＝82）	207.977u

　以下の結果で、E_cは原子核を点電荷とした場合のエネルギー固有値、kは水素様原子の「主量子数」に相当するパラメータ、κは等方的三次元調和振動子の「主量子数」に相当するパラメータです。原子核半径が大きくなるほど、kの整数からの逸脱が大きくなります。そして、内殻のミューオンほど、kの整数からの逸脱が大きくなり、副殻s，p，d，f，…ではｓ＞ｐ＞ｄ＞ｆ＞…の順にkの整数からの逸脱が大きくなります。

48Ti（Z＝22）＋μ- 　 E(MeV) Ec(MeV) κ k 1s -1.257 -1.358 -0.332 1.040 2s -0.327 -0.340 -0.288 2.039 3s -0.147 -0.151 -0.280 3.039 2p -0.340 -0.340 -0.789 2.000 3p -0.151 -0.151 -0.780 3.000 3d -0.151 -0.151 -1.280 3.000	63Cu（Z＝29）＋μ- 　 E(MeV) Ec(MeV) κ k 1s -2.069 -2.362 -0.274 1.068 2s -0.552 -0.590 -0.203 2.068 3s -0.251 -0.262 -0.188 3.068 2p -0.590 -0.590 -0.704 2.001 3p -0.262 -0.262 -0.689 3.001 3d -0.262 -0.262 -1.189 3.000
121Sb（Z＝51）＋μ- 　 E(MeV) Ec(MeV) κ k 1s -5.182 -7.310 -0.158 1.188 2s -1.532 -1.828 0.023 2.184 3s -0.722 -0.812 0.063 3.182 2p -1.811 -1.828 -0.491 2.009 3p -0.807 -0.812 -0.442 3.010 3d -0.812 -0.812 -0.942 3.000	208Pb（Z＝82）＋μ- 　 E(MeV) Ec(MeV) κ k 1s -9.983 -18.906 -0.083 1.376 2s -3.392 -4.726 0.254 2.361 3s -1.678 -2.101 0.342 3.357 2p -4.493 -4.726 -0.302 2.051 3p -2.023 -2.101 -0.176 3.057 3d -2.099 -2.101 -0.680 3.001

　ミュオニック水素様原子の2p-1s間の遷移エネルギーを求めてみると、次のようになります。

48Ti（Z＝22）＋μ-	0.917MeV
63Cu（Z＝29）＋μ-	1.479MeV
121Sb（Z＝51）＋μ-	3.371MeV
208Pb（Z＝82）＋μ-	5.490MeV

　この結果を、相対論的効果を摂動論的に取り入れて計算した結果(こちらのp.803を参照。)と比較してみると、相対論的効果は小さく、ミュオニック水素様原子のエネルギー準位は非相対論的にも近似が可能であるとわかります。

・負π中間子、負Ｋ中間子、タウ粒子の場合

　ミュオニック水素様原子は原子核とミューオン1個の束縛状態ですが、ミューオンだけでなく、負のπ中間子、負のＫ中間子がそのような束縛状態をつくることが知られていて、タウ粒子についても同様な系について理論計算がなされています(こちらを参照。)。次に、ミュオニック水素様原子のミューオンを負π中間子、負Ｋ中間子、タウ粒子に置き換えた系のエネルギー固有値を求めてみます。負π中間子、負Ｋ中間子、タウ粒子の質量については、

負π中間子の質量ｍπ	139.57MeV
負Ｋ中間子の質量ｍＫ	493.667MeV
タウ粒子の質量ｍτ	1776.82MeV

　としました。現実のπ中間子、Ｋ中間子は原子核と強い相互作用もするので、以下の計算結果は、現実のπ中間子水素様原子、Ｋ中間子水素様原子のエネルギー固有値というよりは、ミューオンの質量がもしπ中間子、Ｋ中間子程度だった場合のミュオニック水素様原子のエネルギー固有値であるといえます。

　まず、負のπ中間子の場合に、ミュオニック水素様原子の場合と同様に⁴⁸Ti（Z＝22）、⁶³Cu（Z＝29）、¹²¹Sb（Z＝51）、²⁰⁸Pb（Z＝82）の4つの核種についてエネルギー固有値Eを求めたのが以下の結果です。kの整数からの逸脱はさらに大きくなっています。

48Ti（Z＝22）＋π- 　 E(MeV) Ec(MeV) κ k 1s -1.595 -1.793 -0.289 1.060 2s -0.422 -0.448 -0.225 2.061 3s -0.192 -0.199 -0.212 3.056 2p -0.448 -0.448 -0.726 2.000 3p -0.199 -0.199 -0.712 3.000 3d -0.199 -0.199 -1.212 3.000	63Cu（Z＝29）＋π- 　 E(MeV) Ec(MeV) κ k 1s -2.576 -3.118 -0.231 1.100 2s -0.708 -0.779 -0.129 2.099 3s -0.325 -0.346 -0.109 3.097 2p -0.778 -0.779 -0.633 2.002 3p -0.346 -0.346 -0.610 3.002 3d -0.346 -0.346 -1.110 3.000
121Sb（Z＝51）＋π- 　 E(MeV) Ec(MeV) κ k 1s -6.121 -9.654 -0.123 1.256 2s -1.909 -2.413 0.116 2.249 3s -0.915 -1.073 0.173 3.248 2p -2.369 -2.413 -0.410 2.019 3p -1.057 -1.073 -0.335 3.022 3d -1.073 -1.073 -0.836 3.000	208Pb（Z＝82）＋π- 　 E(MeV) Ec(MeV) κ k 1s -11.278 -24.969 -0.060 1.488 2s -4.120 -6.242 0.361 2.462 3s -2.093 -2.774 0.480 3.454 2p -5.677 -6.242 -0.231 2.097 3p -2.587 -2.774 -0.049 3.107 3d -2.766 -2.774 -0.559 3.005

　次に、負のＫ中間子の場合に、ミュオニック水素様原子の場合と同様に⁴⁸Ti（Z＝22）、⁶³Cu（Z＝29）、¹²¹Sb（Z＝51）、²⁰⁸Pb（Z＝82）の4つの核種についてエネルギー固有値Eを求めたのが以下の結果です。kの整数からの逸脱はさらに大きくなっています。²⁰⁸Pbの最初の2つの準位(1s,2p)では、κが整数値に近づいています（さらに多くの準位について計算したものはこちら。）。

48Ti（Z＝22）＋K- 　 E(MeV) Ec(MeV) κ k 1s -3.806 -6.292 -0.111 1.286 2s -1.213 -1.573 0.153 2.278 3s -0.587 -0.699 0.217 3.274 4s -0.344 -0.393 0.242 4.277 2p -1.534 -1.573 -0.379 2.025 3p -0.686 -0.699 -0.293 3.029 4p -0.387 -0.393 -0.262 4.032 3d -0.699 -0.699 -0.794 3.000 4d -0.393 -0.393 -0.763 4.000 4f -0.393 -0.393 -1.263 4.000	63Cu（Z＝29）＋K- 　 E(MeV) Ec(MeV) κ k 1s -5.496 -10.962 -0.075 1.412 2s -1.913 -2.740 0.291 2.394 3s -0.955 -1.218 0.388 3.388 4s -0.570 -0.685 0.428 4.385 2p -2.572 -2.740 -0.277 2.064 3p -1.162 -1.218 -0.133 3.071 4p -0.660 -0.685 -0.082 4.075 3d -1.216 -1.218 -0.638 3.002 4d -0.684 -0.685 -0.584 4.003 4f -0.685 -0.685 -1.084 4.000
121Sb（Z＝51）＋K- 　 E(MeV) Ec(MeV) κ k 1s -10.359 -34.039 -0.026 1.813 2s -4.534 -8.510 0.596 2.740 3s -2.464 -3.782 0.818 3.717 4s -1.537 -2.127 0.917 4.706 2p -6.470 -8.510 -0.110 2.294 3p -3.120 -3.782 0.247 3.303 4p -1.836 -2.127 0.385 4.306 3d -3.667 -3.782 -0.311 3.047 4d -2.066 -2.127 -0.140 4.059 4f -2.125 -2.127 -0.646 4.002	208Pb（Z＝82）＋K- 　 E(MeV) Ec(MeV) κ k 1s -16.287 -88.157 -0.008 2.327 2s -8.852 -22.039 0.814 3.156 3s -5.240 -9.795 1.214 4.102 4s -3.416 -5.510 1.416 5.080 2p -12.041 -22.039 -0.038 2.706 3p -6.515 -9.795 0.573 3.679 4p -4.054 -5.510 0.845 4.663 3d -8.278 -9.795 -0.122 3.263 4d -4.785 -5.510 0.264 4.292 4f -5.374 -5.510 -0.301 4.050

　さらに、タウ粒子の場合に、ミュオニック水素様原子の場合と同様に⁴⁸Ti（Z＝22）、⁶³Cu（Z＝29）、¹²¹Sb（Z＝51）、²⁰⁸Pb（Z＝82）の4つの核種についてエネルギー固有値Eを求めたのが以下の結果です。kの整数からの逸脱はさらに大きくなっています。⁴⁸Ti、⁶³Cuの最初の2つの準位(1s,2p)、¹²¹Sbの最初の4つの準位(1s,2p,2s,3d)、²⁰⁸Pbの最初の6つの準位(1s,2p,2s,3d,3p,4f)では、κが整数値に近づいています（さらに多くの準位について計算したものはこちら。）。

48Ti（Z＝22）＋τ- 　 E(MeV) Ec(MeV) κ k 1s -6.251 -22.021 -0.022 1.877 2s -2.823 -5.505 0.633 2.793 3s -1.553 -2.447 0.875 3.766 4s -0.974 -1.376 0.986 4.755 2p -4.021 -5.505 -0.096 2.340 3p -1.965 -2.447 0.296 3.348 4p -1.256 -1.376 0.449 4.350 3d -2.347 -2.447 -0.276 3.063 4d -1.324 -1.376 -0.081 4.078 4f -1.374 -1.376 -0.591 4.003	63Cu（Z＝29）＋τ- 　 E(MeV) Ec(MeV) κ k 1s -8.257 -38.616 -0.012 2.163 2s -4.222 -9.654 0.761 3.024 3s -2.439 -4.291 1.102 3.979 4s -1.569 -2.414 1.269 4.961 2p -5.863 -9.654 -0.053 2.566 3p -3.054 -4.291 0.485 3.556 4p -1.867 -2.414 0.712 4.548 3d -3.830 -4.291 -0.164 3.175 4d -2.187 -2.414 0.151 4.202 4f -2.386 -2.414 -0.387 4.023
121Sb（Z＝51）＋τ- 　 E(MeV) Ec(MeV) κ k 1s -13.425 -121.140 -0.002 3.004 2s -8.771 -30.285 0.936 3.716 3s -5.649 -13.460 1.565 4.631 4s -3.877 -7.571 1.922 5.590 2p -10.988 -30.285 -0.011 3.320 3p -6.881 -13.460 0.817 4.196 4p -4.579 -7.571 1.281 5.143 3d -8.642 -13.460 -0.038 3.744 4d -5.391 -7.571 0.617 4.740 4f -6.491 -7.571 -0.104 4.320	208Pb（Z＝82）＋τ- 　 E(MeV) Ec(MeV) κ k 1s -19.411 -313.165 0.000 4.030 2s -14.690 -78.291 0.987 4.632 3s -10.557 -34.796 1.852 5.464 4s -7.760 -19.573 2.437 6.373 2p -17.028 -78.291 -0.002 4.303 3p -12.454 -34.796 0.955 5.031 4p -8.955 -19.573 1.687 5.933 3d -14.662 -34.796 -0.007 4.637 4d -10.415 -19.573 0.881 5.501 4f -12.343 -19.573 -0.022 5.054

・各粒子の原子核中心からの平均距離

　各粒子の1s軌道の動径分布関数の極大値と、原子核中心からの平均距離を、原子核半径と比較したものがこちらです。各粒子の1s軌道の波動関数と動径分布関数の具体的な形はこちらを参照。

	原子核半径(fm)	τ-		K-		π-	μ-
		極大値(fm)	平均距離(fm)	極大値(fm)	平均距離(fm)	極大値(fm)	極大値(fm)
48Ti	4.7	3.0	3.5	4.7	6.2	10.2	12.8
63Cu	5.2	3.0	3.4	4.4	5.6	8.5	10.4
121Sb	6.4	3.0	3.4	4.2	5.0	6.7	7.7
208Pb	7.7	3.0	3.4	4.2	4.8	6.1	6.8

　ミューオン、π中間子の1s軌道の動径分布関数の極大値は、最も重い²⁰⁸Pbで原子核内部に入ります。タウ粒子の1s軌道の動径分布関数の極大値と原子核中心からの平均距離は4つの核種すべてでで原子核内部に入ります。Ｋ中間子の場合は、⁶³Cu、¹²¹Sb、²⁰⁸Pbで1s軌道の動径分布関数の極大値が原子核内部に入り、¹²¹Sb、²⁰⁸Pbで1s軌道の原子核中心からの平均距離が原子核内部に入ります。

負のＫ中間子の場合についてさらに多くの準位において計算したものはこちらを参照。

タウ粒子の場合についてさらに多くの準位において計算したものはこちらを参照。