5+1次元時空間でのDirac方程式

・Pauli行列と5+1次元時空間でのDiracのγ行列

　5+1次元時空間でのDiracのγ行列は、3つのPauli行列と、単位行列の直積を用いて


　と表されるが、3+1次元時空間でのDiracのγ行列とPauli行列の直積を用いて


　とも表される。ここでγ⁵は、


　であり、I₄は4×4の単位行列


　である。

　具体的な行列表示では、8×8行列に拡張した3+1次元時空間でのDiracのγ行列とPauli行列


　を用いて、

　と、定義する。なお、3+1次元時空間でのDiracのγ行列のγ⁵にあたるものは、5+1次元時空間では、


　である。

　上記のγ行列を用いると、自由スピノル場のDirac方程式は


　となり、スピノル場は8成分の量となる。添え字μは1から6まで走る。

　上記の自由スピノル場のDirac方程式は、x⁶=itであるから、


　で(添え字kは1から5まで走る。)、ρ₃を左から乗じると、


　で、ハミルトニアンは、Schrödinger方程式が、


　であって、p_k＝−i∂_kであるから


　となる。

　これに対して、電磁場中のスピノル場のDirac方程式は、


　で、A₆=iφであるから、


　で、ρ₃を左から乗じると、


　で、ハミルトニアンは、


　となる。

・5+1次元時空間でのDirac方程式の非相対論的近似

　非相対論的近似では、スピノル場ψは、物質場に対応する解では上4成分が支配的となり下4成分は微小になり、反物質場に対応する解では下4成分が支配的となり上4成分は微小になる。ここで、行列ρ₃と単位行I₄は、上4成分と下4成分を混合させない行列であるのに対して、行列ρ₁と行列ρ₂は、上4成分と下4成分を混合させる行列で、以下、行列ρ₃と単位行列I₄のような行列を偶行列といい、行列ρ₁と行列ρ₂のような行列を奇行列という。

　そこで、ハミルトニアンを偶行列化するユニタリ変換（谷-Foldy-Wouthuysen変換）を探すこととする。

　行列Sに対して、


　であるから、




　とすると、


　であるから、


　である。


　は、




　より、




　である。ここで、


　である。一方、磁場は3次元空間では軸性ベクトル量であったが、4次元以上の高次元空間では2階の反対称テンソル量であり、5次元空間では10成分を有する量である。


　したがって、


　であるから、


　より、


　とすると、


　である。



　であるから、ハミルトニアンはmについて0次まで偶行列化されたので、さらに、mについて-1次まで偶行列化することを考えると、






　より、


　である。また、


　より、




　である。ここで、


　より、


　である。したがって、


　であるから、


　である。さらに、


　とすると、


　である。さらに、中心力ポテンシャルを仮定して、


　とすると(Ｌ_ijは5次元空間での角運動量演算子である。)、


　である。上の式のうち、第4項がDarwin項、第5項がスピン・軌道結合項である(具体的なポテンシャルの形についてはこちら)。

・5+1次元時空間でのスピン・軌道結合項

　ハミルトニアンに対するＬ_ijの交換関係は、

　より、


　であるから、Ｌ_ijはハミルトニアンに対して可換ではないので、運動の恒量ではない。また、ハミルトニアンに対するσ_ijの交換関係は、


　より、k≠i，k≠jならば


　k＝iならば


　k＝jならば


　であるから、


　より、


　であるから、σ_ijはハミルトニアンに対して可換ではないので、運動の恒量ではない。しかし、両者を合成したＪ＝Ｌ＋(1/2)σは


　より、ハミルトニアンに対して可換であるので、運動の恒量である。

　ここで、


　であるから、


　であるが、(σ_ij)²はSO(5)の(m₁，m₂)＝(0,1)の4次元表現における生成元の2乗の総和で、2次のCasimir演算子である。一方、(Ｌ_ij)²はSO(5)の(m₁，m₂)＝(h,0)の表現における生成元の2乗の総和で、やはり2次のCasimir演算子であって、固有値は、


　である。スピン・軌道合成角運動Ｊは、

　であって、(h,0)表現と(0,1)表現の直積は(h,1)表現と(h-1,1)表現に分解されるので、各々について2次のCasimir演算子の固有値は、


　であるから、σ_ijＬ_ijは、


　となる。