12進法の場合の乗法持続係数
12進法では\(2^{2}\times 3_{(12)}=10_{(12)}\)なので、MP≧3のときは、各位の数字の積の素因数分解は、\(2^{i}5^{j}7^{k}11^{l}\)、\(3^{i}5^{j}7^{k}11^{l}\)、\(2^{1}3^{i}5^{j}7^{k}11^{l}\)の場合に限られます。各桁について、素因数5,7,11は高々1つまで含まれるので、j+k+ℓの値は桁数以下となります。
各位の数字の積の素因数分解が\(2^{i}5^{j}7^{k}11^{l}\)となるときのパターンは、各位の数字の中に2が2つ以上含まれる場合、2と4が含まれる場合、4が2つ以上含まれる場合、2と5が含まれる場合、4と5が含まれる場合、5と8が含まれる場合が除かれるので、
\(x\overset{i}{\overbrace{7\cdots 7}}\overset{j}{\overbrace{8\cdots 8}}\overset{k}{\overbrace{\mathrm{\small A}\cdots \mathrm{\small A}}}\overset{l}{\overbrace{\mathrm{\small B}\cdots \mathrm{\small B}}}_{(12)},\ x=\emptyset,2,4\)、
\(\overset{i}{\overbrace{5\cdots 5}}\overset{j}{\overbrace{7\cdots 7}}\overset{k}{\overbrace{\mathrm{\small A}\cdots \mathrm{\small A}}}\overset{l}{\overbrace{\mathrm{\small B}\cdots \mathrm{\small B}}}_{(12)}\)
というパターンに限られることになります。
第1のパターンについては、\(\overset{n_{1}}{\overbrace{7\cdots 7}}\overset{n_{2}}{\overbrace{8\cdots 8}}\overset{n_{3}}{\overbrace{\mathrm{\small A}\cdots \mathrm{\small A}}}\overset{n_{4}}{\overbrace{\mathrm{\small B}\cdots \mathrm{\small B}}}_{(12)}\)の各位の数字の積の素因数分解は、\(2^{3n_{2}+n_{3}}5^{n_{3}}7^{n_{1}}11^{n_{4}}\)と表すことができ、n1+n3+n4≦80、n2≦20で探索しました。
第2のパターンについては、\(\overset{n_{1}}{\overbrace{5\cdots 5}}\overset{n_{2}}{\overbrace{7\cdots 7}}\overset{n_{3}}{\overbrace{\mathrm{\small A}\cdots \mathrm{\small A}}}\overset{n_{4}}{\overbrace{\mathrm{\small B}\cdots \mathrm{\small B}}}_{(12)}\)の各位の数字の積の素因数分解は、\(2^{n_{3}}5^{n_{1}+n_{3}}7^{n_{2}}11^{n_{4}}\)と表すことができ、n1+n2+n3+n4≦100で探索しました。
各位の数字の積の素因数分解が\(3^{i}5^{j}7^{k}11^{l}\)となるときのパターンは、各位の数字の中に3が2つ以上含まれる場合が除かれるので、
\(x\overset{i}{\overbrace{5\cdots 5}}\overset{j}{\overbrace{7\cdots 7}}\overset{k}{\overbrace{9\cdots 9}}\overset{l}{\overbrace{\mathrm{\small B}\cdots \mathrm{\small B}}}_{(12)},\ x=\emptyset,3\)
というパターンに限られることになります。
このパターンについては、\(\overset{n_{1}}{\overbrace{5\cdots 5}}\overset{n_{2}}{\overbrace{7\cdots 7}}\overset{n_{3}}{\overbrace{9\cdots 9}}\overset{n_{4}}{\overbrace{\mathrm{\small B}\cdots \mathrm{\small B}}}_{(12)}\)の各位の数字の積の素因数分解は、\(3^{2n_{3}}5^{n_{1}}7^{n_{2}}11^{n_{4}}\)と表すことができ、n1+n2+n4≦80、n3≦20で探索しました。
各位の数字の積の素因数分解が\(2^{1}3^{i}5^{j}7^{k}11^{l}\)となるときのパターンは、各位の数字の中に2と3が含まれる場合、3が2つ以上含まれる場合、2と5が含まれる場合、5と6が含まれる場合が除かれるので、
\(x\overset{n_{1}}{\overbrace{5\cdots 5}}\overset{n_{2}}{\overbrace{7\cdots 7}}\overset{n_{3}}{\overbrace{9\cdots 9}}\mathrm{\small A}\overset{n_{4}}{\overbrace{\mathrm{\small B}\cdots \mathrm{\small B}}}_{(12)},\ x=\emptyset,3\)、
\(x\overset{n_{2}}{\overbrace{7\cdots 7}}\overset{n_{3}}{\overbrace{9\cdots 9}}\overset{n_{4}}{\overbrace{\mathrm{\small B}\cdots \mathrm{\small B}}}_{(12)},\ x=2,6\)
というパターンに限られることになります。
第1のパターンについては、\(\overset{n_{1}}{\overbrace{5\cdots 5}}\overset{n_{2}}{\overbrace{7\cdots 7}}\overset{n_{3}}{\overbrace{9\cdots 9}}\overset{n_{4}}{\overbrace{\mathrm{\small B}\cdots \mathrm{\small B}}}_{(12)}\)の各位の数字の積の素因数分解は、\(2^{1}3^{2n_{3}}5^{n_{1}+1}7^{n_{2}}11^{n_{4}}\)と表すことができ、n1+n2+n4≦80、n3≦20で探索しました。
第2のパターンについては、\(\overset{n_{2}}{\overbrace{7\cdots 7}}\overset{n_{3}}{\overbrace{9\cdots 9}}\overset{n_{4}}{\overbrace{\mathrm{\small B}\cdots \mathrm{\small B}}}_{(12)}\)の各位の数字の積の素因数分解は、\(3^{2n_{3}}7^{n_{2}}11^{n_{4}}\)と表すことができ、n2+n4≦80、n3≦20で探索しました。
以上の結果をまとめると、各MPについての最小数は、12進法表記では以下のような結果になります。
\begin{array}{|r|r|r|c|}
\hline
\mathrm{MP}&左記の\mathrm{MP}となる最小数&&各位の数字の\\ &(12進法表記)&(10進法表記) & 積の素因数分解 \\ \hline
1 & 10 & 12 &- \\ \hline
2 & 26 & 30 & 2^{2}3^{1} \\ \hline
3 & 3\mathrm{\small A} & 46 & 2^{1}3^{1}5^{1} \\ \hline
4 & 6\mathrm{\small B} & 83 & 2^{1}3^{1}11^{1} \\ \hline
5 & 777 & 1099 & 7^{3} \\ \hline
6 & \mathrm{\small AAB} & 1571 & 2^{2}5^{2}11^{1} \\ \hline
7 & 3577777799 & 17902874277 & 3^{5}5^{1}7^{6} \\ \hline
\end{array}