ハイドロン様原子の波動関数とエネルギー固有値

　ハイドロンは核子とレプトンの束縛状態ですが、ハイドロン様原子とは原子核とレプトン1個の束縛状態の系のことです。

　ハイドロン様原子のポテンシャルを、原子核外では1/r³型のクーロン・ポテンシャル、原子核内では調和振動子型と仮定すると、ポテンシャルは球対称なので、その解をψ＝Ｒ(ｒ)Ｚ(ζ,η,θ,φ)（Ｚ(ζ,η,θ,φ)は五次元超球面調和関数Ｚ_hklm(ζ,η,θ,φ)(こちらを参照)）と表すことができて、動径方向の波動関数Ｒ(ｒ)は、非相対論近似では、Schrödinger方程式を用いて、


という方程式の解となります。ただし、r₀は原子核の半径、μはレプトンの換算質量、Zは原子番号です。また、スピン・軌道相互作用は無視しました。

　t＝r/r₀とすると、上のSchrödinger方程式は、


となりますが、原子核内部のポテンシャルは調和振動子型で、その角周波数をωとすると、


として、


となります。また、原子核中心のポテンシャルの最深部の深さE₀は、


と表されます。


とおくと、

、

より、上のSchrödinger方程式は、


となります。

　以下、幾つかのE₀/Δの値の場合について、数値的に波動関数とエネルギー固有値を求めてみました。

・(I)E₀/Δ＝-5の場合

・(II)E₀/Δ＝-2.5の場合

・(III)E₀/Δ＝-7.5の場合