「ディアスポラ」宇宙での大統一理論
(注！)架空世界の架空理論です。

・SU(5)GUT @ real universe
　クォークとレプトン、強い力・弱い力・電磁力を統一的に扱う大統一理論(Grand Unified Theory 略してGUT)が現在の素粒子の標準理論を超える理論として提唱されていますが、そのような大統一理論の候補の一つとしてSU(5)対称性を有するものがあります。

　SU(5)は基本表現として5次元表現５がありますが、この５表現には、

(e⁺，ν_e，d_r，d_g，d_b)_R

　の5つの素粒子が属するとされています。添え字のr，g，bはクォークの「色荷」の赤、緑、青で、括弧外の添え字Rはカイラリティが右巻きという意味です。強い力・弱い力・電磁力のうち、弱い力はカイラリティが左巻きのレプトンとクォーク、および、カイラリティが右巻きの反レプトンと反クォークにのみ働くというカイラリティに関する非対称性があります。上記の5つの素粒子の中では、e⁺とν_eには強い力が働かないのでカラー対称性のSU(3)に関して1次元表現に属し、d_r，d_g，d_bには弱い力が働かないのでフレーバー対称性のSU(2)に関して1次元表現に属しています。SU(5)は強い力のSU(3)、弱い力のSU(2)、電磁力のU(1)に分解されますが、５表現は、

５＝(１，２)_+1/2＋(３，１)_-1/3

と分解されます。括弧の中の1番目の数字がSU(3)の表現、2番目の数字がSU(2)の表現、添え字が各組の素粒子の平均電荷を表します。上の式では、第1項が反レプトンの2つ組、第2項がdクォークの3つ組に相当します。

　レプトンとクォークには、電荷や「色荷」が同じでありながら質量が異なる素粒子が3組あって、「世代」と称していますが、このうち、通常の物質をつくるu,dクォークや電子は最も質量が軽い「第一世代」に属しています。SU(5)の５表現は、「第二世代」および「第三世代」にもあって

(μ⁺，ν_μ，s_r，s_g，s_b)_R
(τ⁺，ν_τ，b_r，b_g，b_b)_R

　であるとされています。

　「第一世代」には、上記の5つの素粒子のほか、uクォークやカイラリティが左巻きの素粒子、および反粒子も属しています。５表現に対して、その共役表現である５^*表現には、上記の5つの素粒子の反粒子

(e^-，ν_e，d_r，d_g，d_b)_L

が属しています。反粒子においてはカイラリティが逆になるので左巻きになります。r，g，bは「色荷」赤、緑、青に対する「補色」の「色荷」、反赤、反緑、反青です。

５表現が上のように分解されるのに対して、５^*表現は、

５^*＝(１，２)_-1/2＋(３^*，１)_+1/3

と分解されます。上の式では、第1項がレプトンの2つ組、第2項が反dクォークの3つ組に相当します。

　「第一世代」の残りの素粒子については、

(e⁺，u_r，u_g，u_b，d_r，d_g，d_b，u_r，u_g，u_b)_L

　の10個の素粒子がSU(5)の10次元表現１０に属しています。

　この１０表現は、2つの５表現の直積のうち、反対称成分に相当します。１０表現のウェイト・ベクトルは、５表現のウェイト・ベクトルのうち相異なる2つのウェイト・ベクトルを合成したものとなります。５表現に属する5つの素粒子から相異なる2つの素粒子を選択して合成すると、１０表現に属する10個の素粒子と同じ電荷・「色荷」を有する状態となります。勿論、このことは、１０表現に属する10個の素粒子が、５表現に属する5つの素粒子から合成される複合粒子であることを意味しているわけではありません。

　2つの５表現の直積のうち、反対称成分である１０表現と対称成分である１５表現は、

１０＝(１，１)₊₁＋(３，２)_+1/6＋(３^*，１)_-2/3
１５＝(１，３)₊₁＋(３，２)_+1/6＋(６，１)_-2/3

と分解されます。上の式で、１０表現の第1項が陽電子、第2項がu,dクォークの3つ組、第3項が反uクォークの3つ組に相当します。

　上記の10個の素粒子の反粒子は１０表現の共役表現１０^*に属しています。

　このようにして、残る素粒子は右巻き電子型ニュートリノν_eRと左巻き電子型反ニュートリノν_eLとなりますが、これらは電荷をもたず、強い力も弱い力も働かないので、SU(5)の1次元表現に属すると考えられています。なお、ニュートリノの質量は殆ど０で、殆ど光速度で走っており、現在のところ、左巻きニュートリノと右巻き反ニュートリノのみが発見されています。

　５表現と５^*表現の直積は、２４表現と１表現に分解されますが、２４表現は、SU(5)の生成子の数24と等しい次元数をもつ随伴表現です。SU(5)GUTでは24個の生成子に対応して24個のゲージボソンがありますが、２４表現は、

２４＝(１，３)₀＋(１，１)₀＋(８，１)₀＋(３，２)_-5/6＋(３^*，２)_+5/6

と分解されます。上の式でいえば、第1項と第2項がＷボソン、Ｚボソンおよび光子に相当し、第3項がグルーオンに相当し、第4項と第5項がＸボソンに相当します。第4項に対応するＸボソンは、平均電荷が-5/6で、電荷が1だけ異なる3つ組が2つあることから、2種類の電荷-4/3と-1/3と、クォークと同じ赤、緑、青の「色荷」をもつものに対応します。第5項に対応するＸボソンは、平均電荷が5/6で、やはり電荷が1だけ異なる3つ組が2つあることから、2種類の電荷+4/3と+1/3と、反クォークと同じ反赤、反緑、反青の「色荷」をもつものに対応します。

５表現に属する5つの素粒子と５^*表現に属する5つの素粒子から1つずつ選択して合成すると、SU(5)に関して中性(1次元表現)となる組み合わせのほか、２４表現に属する24個のゲージボソンと同じ電荷・「色荷」を有する状態となります。勿論、このことは、24個のゲージボソンが、５表現に属する5つの素粒子と５^*表現に属する5つの素粒子から合成される複合粒子であることを意味しているわけではありません。しかし、24個のゲージボソンは５表現に属する5つの素粒子と５^*表現に属する5つの素粒子に崩壊しうることを意味します。例えばＸボソンは、

X^-4/3→e^-_L＋d_R
X^-1/3→ν_eL＋d_R
X^+1/3→ν_eR＋d_L
X^+4/3→e⁺_R＋d_L

　と崩壊しうることを意味します。

　１０表現と１０^*表現の直積は、

１０×１０^*＝７５＋２４＋１

　と分解されるので、１０表現に属する10個の素粒子と１０^*表現に属する10個の素粒子からも、２４表現に属する24個のゲージボソンと同じ電荷・「色荷」を有する状態を合成しうることがわかります。このことは、24個のゲージボソンは１０表現に属する10個の素粒子と１０^*表現に属する10個の素粒子にも崩壊しうることを意味します。例えばＸボソンは、

X^-4/3→d_L＋e^-_R
X^-4/3→u_L＋u_R
X^-1/3→u_L＋e^-_R
X^-1/3→u_L＋d_R
X^+1/3→u_R＋e⁺_L
X^+1/3→u_R＋d_L
X^+4/3→d_R＋e⁺_L
X^+4/3→u_R＋u_L

　と崩壊しうることを意味します。さらに詳しくみると、例えばX^+4/3_bは、

X^+4/3_b→u_rR＋u_gL
X^+4/3_b→u_gR＋u_rL

　と2つのクォークへの崩壊は2通りあることから、Ｘボソンの１０表現に属する10個の素粒子と１０^*表現に属する10個の素粒子への崩壊は3通りあることになります。

　このように、Ｘボソンはバリオン数の異なる複数の状態へ崩壊しうることから、SU(5)GUTではＸボソンを介した陽子崩壊を予言することになります。ただし、最新の実験結果からは、単純なSU(5)GUTでは陽子の寿命が短すぎることから、超対称SU(5)が大統一理論の候補として残ることになりました。

・SU(4)GUT @ macrosphere U^*
　「ディアスポラ」の5+1次元宇宙では、クォークもレプトンも1種類ずつしかないので、レプトンをe^-、クォークをd_r，d_g，d_bとすると、SU(5)GUTに倣って、

(e⁺，d_r，d_g，d_b)_R

　の4つの素粒子でSU(4)の基本表現の4次元表現４を構成していると考えられます。括弧外の添え字Rはカイラリティが右巻きという意味で、5+1次元宇宙でもカイラリティを定義することができます(こちらを参照)。

　カイラリティが左巻きの素粒子、および反粒子については、

(e⁺，d_r，d_g，d_b)_L

　もまたSU(4)の４表現に属し、

(e^-，d_r，d_g，d_b)_L
(e^-，d_r，d_g，d_b)_R

　は、SU(4)の４^*表現に属していると考えられます。

　４表現と４^*表現の直積は、１５表現と１表現に分解されますが、１５表現は、SU(4)の生成子の数15と等しい次元数をもつ随伴表現です。SU(5)GUTに倣うと、「ディアスポラ」宇宙のSU(4)GUTでは15個の生成子に対応して15個のゲージボソンがあると考えられます。

　SU(4)は強い力のSU(3)と電磁力のU(1)に分解されますが、４表現は、

４＝１₊₁＋３_-1/3

と分解され、添え字が各組の素粒子の電荷を表します。上の式では、第1項が反レプトン、第2項がクォークの3つ組に相当します。

４^*表現は、

４^*＝１_-1＋３^*_+1/3

と分解されます。上の式では、第1項がレプトン、第2項が反クォークの3つ組に相当します。

１５表現は、

１５＝１₀＋８₀＋３_-1/3＋３^*_+1/3

　と分解され、第1項が光子に相当し、第2項グルーオンに相当し、第3項と第4項がSU(5)のＸボソンのうちX^±4/3に相当します。このＸボソンは、

X^-4/3→e^-_L＋d_R
X^-4/3→d_L＋e^-_R
X^+4/3→e⁺_R＋d_L
X^+4/3→d_R＋e⁺_L

　と崩壊しますが、SU(5)GUTと異なり、バリオン数の異なる状態への崩壊モードがないので、核子崩壊を予言しないことになります。

・SO(10)GUT @ real universe
　大統一理論の候補としては、SU(5)対称性を有するものの他に、SO(10)対称性を有するものもあります(詳しくはこちらを参照。ゲージボソンについては特にp.19-21を参照。)。SO(10)はその部分群としてSU(5)を含むものです。

　一般にSO(2n)（n≧3）には、基本的な既約表現として、2n次元のベクトル表現、_2nC_k次元のk階反対称テンソル表現(k＝2,3,…,n-2)、2^n-1次元のスピノル表現とその共役表現があり、生成子の数は_2nC₂個なので、2階反対称テンソル表現が随伴表現となります。SO(10)の場合は、10次元のベクトル表現１０、45次元の2階反対称テンソル表現４５、120次元の3階反対称テンソル表現１２０と、16次元のスピノル表現１６とその共役表現１６^*が基本的な既約表現となり、生成子の数は45個なので、４５表現が随伴表現となります。

　SU(5)GUTでは、1つの世代で同じカイラリティに属する素粒子が、５表現と１０^*表現と１表現に分かれ、その反粒子が５^*表現と１０表現と１表現に分かれていましたが、SO(10)GUTでは、1つの世代で同じカイラリティに属する素粒子はすべて１６表現に属し、その反粒子は１６^*表現に属することになります。すなわち、

１６＝５＋１０^*＋１
１６^*＝５^*＋１０＋１

　となります。

　SO(10)は、その部分群としてSU(4)×SU(2)×SU(2)という群も含みますが、この群はパティ・サラムモデルにおいて用いられたもので、SU(4)は強い力のSU(3)をレプトンに第4の「色荷」を割り当てるように拡張したもので、余分なSU(2)はカイラリティが右巻きのクォークとレプトンと左巻きの反クォークと反レプトンに働く弱い力を表したものです。このように、SO(10)はカイラリティに関して対称となっています。

　SO(10)をSU(4)×SU(2)×SU(2)に分解すると、

１６＝(４，２，１)＋(４^*，１，２)
１６^*＝(４^*，２，１)＋(４，１，２)

　と分解されます。括弧内の1番目の数字はSU(4)の表現を、2番目と3番目の数字は2つのSU(2)の表現を表しています。

　SU(4)はさらにSU(3)に分解されますが、

４＝１_-1/2＋３_+1/6
４^*＝１_+1/2＋３^*_-1/6

と分解されます。上の式では、第1項がレプトン或いは反レプトン、第2項がクォーク或いは反クォークの3つ組に相当し、添え字がレプトン或いはクォークの平均電荷を意味します。

　SO(10)では45個の生成子に対応して45個のゲージボソンがありますが、４５表現をSU(4)×SU(2)×SU(2)で分解すると、

４５＝(１，１，３)＋(１，３，１)＋(１５，１，１)＋(６，２，２)

　と分解され、SU(4)の１５表現と６表現はさらにSU(3)で、

１５＝１₀＋８₀＋３_-2/3＋３^*_+2/3
６＝３_-1/3＋３^*_+1/3

　と分解されるので、４５表現をSU(3)×SU(2)×SU(2)で分解すると、

４５＝(１，１，３)₀＋(１，３，１)₀＋(１，１，１)₀＋(８，１，１)₀＋(３，１，１)_-2/3＋(３^*，１，１)_+2/3＋(３，２，２)_-1/3＋(３^*，２，２)_+1/3

　となります。上の式では、第2項と第3項がＷボソン、Ｚボソンおよび光子に相当し、第4項がグルーオンに相当します。第1項は、余分なSU(2)の弱い力に対応したＷ’ボソン、Ｚ’ボソンに相当し、第7項と第8項には、SU(5)GUTの電荷-4/3と-1/3および赤、緑、青の「色荷」をもつＸボソンと、電荷+4/3と+1/3および反赤、反緑、反青の「色荷」をもつＸボソンが含まれますが、さらに電荷-1/3と+2/3および赤、緑、青の「色荷」をもつＸ’ボソンと、電荷+1/3と-2/3および反赤、反緑、反青の「色荷」をもつＸ’ボソンが含まれています。

　Ｘ’ボソンは、

X'^-1/3→e^-_L＋u_R
X'^-1/3→d_L＋ν_eR
X'^-1/3→d_L＋u_R
X'^+2/3→ν_eL＋u_R
X'^+2/3→u_L＋ν_eR
X'^+2/3→d_L＋d_R
X'^-2/3→ν_eR＋u_L
X'^-2/3→u_R＋ν_eL
X'^-2/3→d_R＋d_L
X'^+1/3→e⁺_R＋u_L
X'^+1/3→d_R＋ν_eL
X'^+1/3→d_R＋u_L

　と、バリオン数の異なる複数の状態へ崩壊しうることから、SU(10)GUTではＸ’ボソンを介した陽子崩壊も起こりえます。

　なお、４５表現をSU(3)×SU(2)×SU(2)で分解した式の第5項と第6項は、電荷2/3および赤、緑、青の「色荷」をもつボソンと、電荷-2/3および反赤、反緑、反青の「色荷」をもつボソンに対応します。SU(5)GUT，SO(10)GUTでは、バリオン数単独、レプトン数単独では保存しませんが、バリオン数Bとレプトン数Lの差B-Lは保存します。B-L数はクォークが+1/3、反クォークが-1/3、レプトンが-1、反レプトンが+1ですが、第5項のボソンをＹ^+2/3、第6項のボソンをＹ^-2/3とすると、

Y^+2/3→d_L＋e⁺_R
Y^+2/3→d_R＋e⁺_L
Y^+2/3→u_L＋ν_eR
Y^+2/3→u_R＋ν_eL
Y^-2/3→d_L＋e^-_R
Y^-2/3→d_R＋e^-_L
Y^-2/3→u_L＋ν_eR
Y^-2/3→u_R＋ν_eL

　と、崩壊しますが、それぞれの終状態はB-L数が+4/3と-4/3で、B-L数が+4/3と-4/3になる組み合わせは、上の組み合わせ以外にはないので、Ｙボソンの崩壊モードは上のもの以外にはありません。

・SO(7)GUT @ macrosphere U^*
　SU(5)をより大きな群であるSO(10)に拡張すると、1つの世代で同じカイラリティの素粒子は一つの表現にまとめることができましたが、「ディアスポラ」宇宙でもSU(4)をより大きな群に拡張すると、1つの世代で同じカイラリティの素粒子は一つの表現にまとめることができます。

　SU(4)はSO(6)と準同型ですが、SO(6)をSO(7)に拡張すると、SU(4)の４表現と４^*表現を一つの8次元スピノル表現８にまとめることができます。一般にSO(2n+1)には、基本的な既約表現として、2n+1次元のベクトル表現、_2n+1C_k次元のk階反対称テンソル表現(k＝2,3,…,n-2)、2ⁿ次元のスピノル表現があり、生成子の数は_2n+1C₂個なので、2階反対称テンソル表現が随伴表現となります。SO(7)の場合は、7次元のベクトル表現７、21次元の2階反対称テンソル表現２１と、8次元のスピノル表現８が基本的な既約表現となり、生成子の数は21個なので、２１表現が随伴表現となります(ちなみに、SO(5)の場合はこちら)

　SO(7)では、

(e⁺，d_r，d_g，d_b， e^-，d_r，d_g，d_b)_R
(e⁺，d_r，d_g，d_b， e^-，d_r，d_g，d_b)_L

　がそれぞれ8次元表現８に属します。

　2つの８表現の直積は、対称成分の36次元と反対称成分の28次元に分解されますが、対称成分はさらに35次元表現３５と1次元表現１に分解され、反対称成分はさらに21次元表現２１と7次元表現７に分解されます。SO(7)をSU(4)に分解すると、

８＝４＋４^*

ですが、

８×８＝３５＋１＋２１＋７

で、

３５＋１＝１０＋１０^*＋１５＋１
２１＋７＝６＋６＋１５＋１

なので、

３５＝１０＋１０^*＋１５
２１＝６＋１５
７＝６＋１

と分解されます。２１表現の第2項の１５は、SU(4)GUTの光子、グルーオン、X^±4/3ボソンを含みます。

　一方、SU(4)の2つの４表現の直積は、対称成分の１０表現と反対称成分の６表現に分解されますが、SU(4)が強い力のSU(3)と電磁力のU(1)に分解されると、１０表現と６表現は、

１０＝１₊₂＋３_+2/3＋６_-2/3
６＝３_+2/3＋３^*_-2/3

　と分解されるので、２１表現の第1項の６は、電荷2/3および赤、緑、青の「色荷」をもつボソンと、電荷-2/3および反赤、反緑、反青の「色荷」をもつボソンに対応しますが、SO(10)GUTのＹボソンと同じ電荷・「色荷」の組み合わせを有しています。

　SO(7)においても、ＹボソンはSO(10)の場合と同様に、

Y^+2/3→d_L＋e⁺_R
Y^+2/3→d_R＋e⁺_L
Y^-2/3→d_L＋e^-_R
Y^-2/3→d_R＋e^-_L

　と崩壊しますが、この他にも、終状態が上の式と同じ電荷・「色荷」の組み合わせとなる、

Y^+2/3→d_R＋d_L
Y^-2/3→d_R＋d_L

　という崩壊モードもあると予想されます。さらに詳しくみると、例えばY^-2/3_bは、

Y^-2/3_b→d_rR＋d_gL
Y^-2/3_b→d_gR＋d_rL

　と2つのクォークへの崩壊は2通りあります。各崩壊モードではバリオン数の異なる複数の状態へ崩壊しうることから、SO(7)GUTではＹボソンを介した核子崩壊を予言することになります。

　Ｙボソンの崩壊では、バリオン数単独、レプトン数単独では保存しませんが、バリオン数Bとレプトン数Lの和B+Lは保存します。Ｙ^+2/3ボソンの崩壊の終状態では、B+Lはいずれも-2/3であり、Ｙ^-2/3ボソンの崩壊の終状態では、B+Lはいずれも+2/3となります。そして、Δ⁺に相当する唯一のバリオンのバリオン数は-1で、ハイドロン原子のB+L数は、レプトンの+1と合わせて0となります。してみると、B+L数が0の始状態から、Ｙ^±2/3のボソン対が生成してワームホールを形成し、その後Ｙボソン対がバリオン数保存を破る崩壊をしたとすると、ワームホールの形状は両端が2つに分岐した形になると予想されるので、その後さらにレプトンが離れていけば、一端が3つに分岐したワームホールとなり、ハイドロン原子が生成されます(こちらを参照)。

　核子崩壊は、例えば、

d_L＋d_R→Ｙ^+2/3→d_L＋e⁺_R

　という反応を介して起こり、崩壊生成物として、正のレプトンと唯一の中間子ddを生成すると予想されます。