「ディアスポラ」5+1次元宇宙についての考察
・d次元空間の万有引力ポテンシャル中での運動について
三次元空間では、クーロン力や万有引力は距離の逆二乗に比例する中心力ですが、一般のd次元空間では、距離の逆(d-1)乗に比例する中心力となります。四次元以上の空間では、物体が力の中心から一定の範囲を外れることなく周回し続ける軌道というのは存在しませんが、このような中心力が作用する場合の質点の運動を実際にRunge-Kutta法で計算してみたものがこちらです。他に、力が距離の非整数冪乗に比例する場合についてもいくつか計算してみました。
・「ディアスポラ」宇宙の原子について
四次元以上の空間では、古典力学的にも量子力学的にも、点電荷の周囲の軌道というのは安定して存在しませんが、三次元空間でも、長岡半太郎の土星型原子モデルやラザフォードの太陽系型原子モデルのような、原子の中心の陽電荷とその周囲を周回する電子群という系は、古典電磁気学では、加速運動している電子はたえず輻射エネルギーを放出し、徐々に失速して、ついには中心の陽電荷と衝突してしまうという大きな難点をもっていました。
これに対して、J.J.トムソン（1856〜1940）が1903〜4年ごろに唱えた陽球型原子モデルという原子モデルでは、原子は、一様に陽電荷を帯びた球体の内部に電子を含んでおり、その電子は陽電荷球の中で同心円上に同じ間隔で並んで回転している、というモデルでした。このモデルには前述のような困難がなかったので、当時は、同時期に提唱された長岡半太郎の土星型原子モデルよりも支持されたのでした。J.J.トムソンは、この電子系が、陽電荷球と電子、それに電子相互のクーロン力の下で力学的に安定となる条件を数学的に検討しましたが、電子の数が増えるに伴い何重ものリング上に配列された電子の配列パターンに周期性が現れたので、物質の化学的性質を原子の構造で説明できないかと思っていたJ.J.トムソンは、この模型が元素の原子価や周期律に関係していると主張したのでした。「ディアスポラ」の、一様に電荷が分布している核子内部にレプトンがあるという原子は、J.J.トムソンの陽球型原子モデルを思わせるものがあります。
時代が下がって原子核にも原子と同様に殻構造をもつ可能性があることを示唆する「魔法数」が存在し、陽子数または中性子数が魔法数 (2，8，20，28，50，82，126) であるような原子核は特別に安定であることが示されました。この魔法数を説明しようとして最初につくられた模型が三次元調和振動子モデルでした。この三次元調和振動子モデルでは、魔法数のうち始めの2, 8, 20の3つについては再現できましたが、4番目の28以降は説明できなかったので、その後、原子核殻模型はポテンシャルの形を変えたり、非中心力を採用したりして現在に至っています。「ディアスポラ」の原子は調和振動子型のポテンシャルの中でレプトンが運動しているので、原子核殻模型に近いところもあります。実際、「ディアスポラ」では核子にレプトンが1個埋め込まれた「ハイドロン」（三次元空間の水素に相当）を2つ近づけて分子を作ろうとすると、出来上がるのは「ハイドロン分子」ではなく、「重水素に似たもの」となるそうです。核反応と化学反応とが同じエネルギー・レベルで起こるので、五次元空間では、安定した惑星系が存在しなくて孤立した天体しかなくても、天体が必要となる核反応と化学反応を維持できる熱源を有していれば、生命が発生しうるようです。
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・五次元空間での原子軌道について
一次元調和振動子のエネルギー準位はħω(n+1/2)(n=0,1,2,…)で表されますが、等方的三次元調和振動子の場合は、x、y、z方向成分の一次元調和振動子の組合せと考えることもできるので、エネルギー準位はħω(nx+ny+nz+3/2)(nx,ny,nz=0,1,2,…)で表されます(詳しくはこちらを参照。)。
原子核の等方的三次元調和振動子モデルでは、最低エネルギー準位は０ｓ軌道で(nx,ny,nz)が(0,0,0)となり、次の準位は(1,0,0)タイプが3個で、これらは3つの０ｐ軌道となります。最初の準位は核子2個で閉殻となり、次の準位は核子6個で閉殻となるので、最初の2つの魔法数2と8(=2+6)が説明できます。次の準位は(2,0,0)タイプが3個と(1,1,0)タイプが3個の合計6個で、核子12個で閉殻となるので、3番目の魔法数20(=2+6+12)も説明できます。
この3番目の準位ですが、(1,1,0)タイプの関数はxyexp(-r2)，xzexp(-r2)，yzexp(-r2)の3個ですが、これらは、5つのｄ軌道のうち、dxy、dxz、dyzの3つに相当します。
(2,0,0)タイプの関数は(2x2-1)exp(-r2)，(2y2-1)exp(-r2)，(2z2-1)exp(-r2)の3個ですが、これらを1:1:1で混合した(2r2-3)exp(-r2)は球対称な関数なので、ｓ状態に相当します。実際、等方的三次元調和振動子型の原子核の殻模型では、3番目の準位には１ｓ軌道と5個の０ｄ軌道が縮退していて、(2,0,0)タイプの3つの線形結合のうち1つが１ｓ軌道に対応し、残りの2つの線形結合が、dx2-y2、dz2の2つに相当して、(1,1,0)タイプの3つとともに5個の０ｄ軌道に対応しています(詳しくはこちらとこちらを参照。)。
「ディアスポラ」の原子では、等方的五次元調和振動子型ポテンシャルなので、エネルギー準位はx、y、z、u、v方向（u方向が「シニスター」−「デクスター」*、v方向が「ゴーシュ」−「ドロワ」*）の量子数をnx,ny,nz,nu,nvとして、ħω(nx+ny+nz+nu+nv+5/2)(nx,ny,nz,nu,nv=0,1,2,…)で表されます。
最低エネルギー準位は０ｓ軌道で(nx,ny,nz,nu,nv)が(0,0,0,0,0)となり、次の準位は(1,0,0,0,0)タイプが5個で、これらは5つの０ｐ軌道となります。2番目の準位までで6つの軌道があります。レプトンのスピン状態がns個であるとすると、6ns個で2番目の準位までが埋まります。
3番目の準位には、(2,0,0,0,0)タイプが5個と(1,1,0,0,0)タイプが10個の合計15個の軌道があります。(2,0,0,0,0)タイプの関数は(2x2-1)exp(-r2)，(2y2-1)exp(-r2)，(2z2-1)exp(-r2)，(2u2-1)exp(-r2)，(2v2-1)exp(-r2)の5個ですが、(2,0,0,0,0)タイプの5つの線形結合のうち1つ、1:1:1:1:1で混合した(2r2-5)exp(-r2)が超球対称な１ｓ軌道に対応し、残りの4つの線形結合が、(1,1,0,0,0)タイプの10個とともに14個の０ｄ軌道となります(詳しくはこちらを参照。)。
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・五次元空間でのスピンについて
三次元空間ではスピン1/2の粒子は二つのスピン状態をとりますが、これはSO(3)（三次元回転群）あるいはそれと準同型のSU(2)（二次元特殊ユニタリー群）の表現の一つであるスピノル表現が二次元表現であることに対応します。五次元空間ではSO(5)（五次元回転群）で考えると、そのスピノル表現は四次元表現となり、最小単位のスピンを有する粒子は四つのスピン状態をとります。三次元空間では二つのスピン状態を「上」、「下」といっていますが、五次元空間では四つのスピン状態を何というのでしょうか。
スピン状態が四つということは、一つの軌道には、レプトンが四つまで入ることができることになります。してみると、三次元空間では原子2（ヘリウム）で閉殻となりますが、五次元空間では原子4で閉殻となります。そして、三次元空間では原子1（水素）の2原子間の結合軌道に二つの電子が入って2原子分子(H2)となりますが、五次元空間では原子1である「ハイドロン」の4原子間の結合軌道に四つのレプトンが入って4原子分子(H4?)となるはずですが、「ハイドロン」を2つ近づけて出来上がるものが「ハイドロン分子」ではなく「重水素に似たもの」となったように、「ハイドロン」を4つ近づけて出来上がるものは「α粒子に似たもの」となるでしょう。
ところで、「ディアスポラ」の原子で最初の２つのレベルは完全に埋めるには、６つの軌道のひとつひとつを４つのスピン状態で埋めることになるので、レプトンは12個でなくて24個必要になるのではないでしょうか。原子4が三次元空間のヘリウムに相当するものなら、原子24が三次元空間のネオンに相当するものでしょう。１ｓ＋０ｄの15個の軌道にひとつずつレプトンを入れると、それは原子27でなくて原子39となりますが、ｄ軌道ということで、三次元空間でいえば５つのｄ軌道に１つずつ電子が入ったマンガンのような軌道配置になるのでしょうか。
無数にある五次元宇宙の中には、「ハイドロン」の4原子分子が安定して存在しうる物理定数を有するものもあるかもしれません。そのような五次元宇宙においては、三次元空間では水素分子H2は直線状すなわち一次元状の分子ですが、H4は三次元状の分子で、4原子は正四面体状に配置しているのでしょう。そして、閉殻となる原子4と原子24を除いて、原子2、原子3、原子5、…原子23も安定した化学結合で分子をつくることができるでしょう。原子3はレプトンがあと一つで閉殻となるので、三次元空間での弗素以上に活性の元素ということになるでしょう。このような五次元宇宙において炭素に相当するのは、レプトン4個の閉殻の外側に5個の１ｐ軌道に１つずつレプトンが入った原子9でしょう。
・５＋１次元時空間のディラック方程式について
ディラックのγ行列は３＋１次元時空間のローレンツ変換がなすローレンツ群SO(1,3)のγ行列ですが、５＋１次元時空間のローレンツ変換がなすローレンツ群SO(1,5)でもγ行列を定義することができます。一般にn=2k次元のローレンツ群SO(1,n-1)のγ行列は2k×2k行列で、３＋１次元時空間ではk=2なのでγ行列は4×4行列ですが、５＋１次元時空間ではk=3なのでγ行列は8×8行列です(詳しくはこちらを参照。)。
したがって、５＋１次元時空間のディラック方程式の波動関数は８成分となりますが、８成分のうち４成分がレプトンの４つのスピン状態があることに、残りの４成分が反レプトンの４つのスピン状態があることに対応します。
* シニスター(sinister)−デクスター(dexter)はラテン語で左と右、ゴーシュ(gauche)−ドロワ(droit)はフランス語で左と右。