乗法持続係数(Multiplicative Persistence：以下MPという。)とは、例えば、679→378→168→48→32→6というように、各位の数字を掛け合わせて次の数を出し、その数の各位の数字を掛け合わせてその次の数として、最後に1桁の数字が出るまでこの操作をおこなったときの回数のことです。679の場合だと、5回おこなっているので、679のMPは5となります。
MP=nとなる最小の数について、10進法表記では、以下のような結果になることが知られています。
\begin{array}{|r|r|c|}
\hline
\mathrm{MP}&左記の\mathrm{MP}となる最小数&各位の数字の\\ & & 積の素因数分解 \\ \hline
1 & 10 & - \\ \hline
2 & 25 & 2^{1}5^{1} \\ \hline
3 & 39 & 3^{3} \\ \hline
4 & 77 & 7^{2} \\ \hline
5 & 679 & 2^{1}3^{3}7^{1} \\ \hline
6 & 6788 & 2^{7}3^{1}7^{1} \\ \hline
7 & 68889 & 2^{10}3^{3} \\ \hline
8 & 2677889 & 2^{8}3^{3}7^{2} \\ \hline
9 & 26888999 & 2^{11}3^{7} \\ \hline
10 & 3778888999 & 2^{12}3^{7}7^{2} \\ \hline
11 & 277777788888899 & 2^{19}3^{4}7^{6} \\ \hline
\end{array}
一般のN進法において、各位の数字の中に0が含まれていると、次は0になるのでMP=1となります。したがって、MP≧2のときは、各位の数字の中に0は含まれていません。
また、一般のN進法において、各位の数の組み合わせが\(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}\)であるときに、1,2,...,nを並べ替えてσ(1),σ(2),...,σ(n)として、\(a_{\sigma (1)}\le a_{\sigma (2)}\le\cdots\le a_{\sigma (n)}\)となるように並べ替えた、\((a_{\sigma (1)}a_{\sigma (2)}\cdots a_{\sigma (n)})_{(N)}\)が最小の数となるので、以下ではこのような数のみを探索することとします。
さらに、一般のN進法において、各位の数の組み合わせが\(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}\)であるときに、\((a_{1}a_{2}\cdots a_{n})_{(N)}\)という数と\((1a_{1}a_{2}\cdots a_{n})_{(N)}\)という数では、各位の数字を掛け合わせると同じ結果になり、\((a_{1}a_{2}\cdots a_{n})_{(N)}\lt (1a_{1}a_{2}\cdots a_{n})_{(N)}\)なので、MP≧2となる各MPについての最小数の探索において、各位の数字の中に1が含まれる場合は除かれます。
10進法の場合には、特に、各位の数字の中に5と偶数が含まれていると、次は10の倍数になり、さらにその次が0になるのでMP=2となります。したがって、MP≧3のときは、各位の数字の中に5と偶数は含まれません。このようにして、他の進法でも除外する組み合わせを考慮して探索していくことになります。
以下の計算においては、Magma Free Online Calculatorを用いました。